2019版高考数学（文）创新大一轮人教A全国通用版讲义：第八章立体几何初步第3节

第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系
最新考纲　1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

知 识 梳 理
1.平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
2.空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形
语言



符号
语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形
语言



符号
语言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
独有关系
图形
语言



符号
语言
a，b是异面直线
a⊂α

3.平行公理(公理4)和等角定理
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4.异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围：.
[常用结论与微点提醒]
1.空间中两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补.
2.异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.
3.唯一性的几个结论：
(1)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(2)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(3)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.(　　)
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　)
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.(　　)
(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面.(　　)
解析　(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.
(4)由于a不平行于平面α，且a⊄α，则a与平面α相交，故平面α内有与a相交的直线，故错误.
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°
解析　连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.
答案　C
3.(2018·贵阳调研)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(　　)
A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行
解析　依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.
答案　D
4.(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)

解析　法一　对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.因此A项不正确.
　　
　　　　图(1)　　　　　　　　图(2)
法二　对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行.A项不正确.
答案　A
5.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.

解析　EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个.
答案　4

考点一　平面的基本性质及应用
【例1】 (1)(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.
答案　A
(2)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綉AD，BE綉FA，G，H分别为FA，FD的中点.

①证明：四边形BCHG是平行四边形；
②C，D，F，E四点是否共面？为什么？
①证明　由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綉AD.又BC綉AD，∴GH綉BC，
∴四边形BCHG为平行四边形.
②解　∵BE綉AF，G为FA的中点，∴BE綉FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面.
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.
规律方法　1.证明线共面或点共面的常用方法
(1)直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面.
(2)纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.
(3)辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
2.证明点共线问题的常用方法
(1)基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.
(2)纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.
【训练1】 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：

(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点.
证明　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，
∴EF∥A1B.
又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，
∴E，C，D1，F四点共面.
(2)∵EF∥CD1，EF