2019版高考数学（文）创新大一轮人教A全国通用版讲义：第九章平面解析几何第8节

第8节　圆锥曲线的综合问题
最新考纲　1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.

知 识 梳 理
1.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，
即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：
Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C相离.
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.
2.圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·|y1－y2|＝·.
[常用结论及微点提醒]
1.直线与椭圆位置关系的有关结论
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；
(2)过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；
(3)过椭圆内一点的直线均与椭圆相交.
2.直线与抛物线位置关系的有关结论
(1)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点，两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
(2)过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；
(3)过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点，一条与对称轴平行或重合的直线.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.(　　)
(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.(　　)
(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.(　　)
(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝|y1－y2|.(　　)
解析　(2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.
(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
答案　A
3.双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)
A.2 B.2 C. D.1
解析　∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4，0)，其中一条渐近线方程为y＝x，∴点F到x－y＝0的距离为＝2.
答案　A
4.过抛物线y＝2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则x1x2等于________.
解析　易知抛物线y＝2x2的焦点为，设过焦点的直线的斜率为k，则其方程为y＝kx＋，由
得2x2－kx－＝0，故x1x2＝－.
答案　－
5.已知F1，F2是椭圆16x2＋25y2＝1 600的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为________.
解析　由题意可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝144＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝202－2|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝128，
所以△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×128＝64.
答案　64

考点一　直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程.
解　(1)椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，∴c＝1，
又点P(0，1)在曲线C1上，
∴＋＝1，得b＝1，则a2＝b2＋c2＝2，
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，
由消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
因为直线l与椭圆C1相切，
所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.
整理得2k2－m2＋1＝0.①
由消去y，得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.
因为直线l与抛物线C2相切，
所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②
综合①②，解得或
所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.
规律方法　研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择题、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.
【训练1】 若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为(　　)
A.至多一个 B.2
C.1 D.0
解析　∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴>2，∴m2＋n20)，
则直线AB的方程为y＝(x－c)，
即x－y－c＝0，
∴＝2，解得c＝2.
∵·2a·2b＝2，∴ab＝，
又a2＝b2＋c2，∴a2＝5，b2＝1，
∴椭圆D的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，可设直线l的方程为x＝ty＋2，则圆心C到直线l的距离d＝，
∴n＝2＝，
由得(t2＋5)y2＋4ty－1＝0，
设直线l与椭圆D的交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝，
∴m＝|y1－y2|＝，
∴m·n＝＝≤2
，
∴直线l的方程为x－y－2＝0或x＋y－2＝0.
规律方法　1.弦长的三种常用计算方法
(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题.
(2)点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长.
(3)弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的.
2.处理中点弦问题常用的求解方法
点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.
【训练2】 (1)(2018·郑州一模)已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦|AB|＝________.
(2)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析　(1)直线l的方程为y＝x＋1，
由得y2－14y＋1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，
∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.
(2)因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，
所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，
得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，
所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，
又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3.
答案　(1)16　(2)D
考点三　圆锥曲线的综合问题
【例3】 (2018·长春模拟)已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，以抛物线E上点P(2，y0)为圆心的圆与直线y＝相交于M,N两点，且||＝||＝||.
(1)求抛物线E的方程；
(2)设直线l与抛物线E相交于A，B两点，线段AB的中点为D.与直线l平行的直线与抛物线E切于点C.若点A，B到直线CD的距离之和为4，求证：△ABC的面积为定值.
(1)解　由抛物线的定义得|PF|＝y0＋，点P到直线y＝的距离为y0－，
∵圆P与直线y＝相交于M，N两点，且||＝||，
∴＝，即cos∠PMN＝，∴∠PMN＝30°，
∴点P到直线y＝的距离为||，
即||＝2，
∵||＝||，
∴y0－＝，得y0＝p，
将点(2，p)代入抛物线方程，得p＝2，
∴抛物线E的方程为x2＝4y.
(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程，得x2－4kx－4b＝0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
则点D(2k，2k2＋b).
设与直线l平行且与抛物线E相切的直线方程为y＝kx＋m，代入抛物线方程，得x2－4kx－4m＝0，由Δ＝16k2＋16m＝0，
得m＝－k2，点C的横坐标为2k，则C(2k，k2)，
∴直线CD与x轴垂直，则点A，B到直线CD的距离之和为|x1－x2|，
即|x1－x2|＝4，
∴＝4，
则16k2＋16b＝32，即b＝2－k2，
∴|CD|＝|2k2＋b－k2|＝2，
∴S△ABC＝|CD|·|x1－x2|＝×2×4＝4，即△ABC的面积为定值.
规律方法　圆锥曲线的综合问题主要包括：定点、定值问题，最值、范围问题.
(1)求解最值与范围问题的关键在于准确利用已知条件构造不等关系式或目标函数，通过解不等式或求解目标函数的值域解决相应问题.
(2)关于定点的考题多以坐标轴上的点为研究对象，注意特殊位置的选取.
(3)定值问题一般从特殊入手，再证明，还可以直接推理、计算，从而得到定值.
【训练3】 (2018·武汉模拟)已知点F为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围.
解　(1)由题意，得a＝2c，b＝c，则椭圆E为＋＝1.
由得x2－2x＋4－3c2＝0.
∵直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，
∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0⇒c2＝1，a＝2，b＝，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)得M ，

∵直线＋＝1与y轴交于P(0，2)，∴|PM|2＝，
当直线l与x轴垂直时，
|PA|·|PB|＝(2＋)×(2－)＝1，
∴λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝.
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，
依题意得，x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0，
∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，
∴λ＝，∵k2>，∴0)的交点个数是(　　)
A.1 B.2 C.1或2 D.0
解析　由直线y＝x＋3与双曲线－＝1的渐近线y＝x平行，故直线与双曲线的交点个数是1.
答案　A
2.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是(　　)
A.2x±y＝0 B.x±2y＝0
C.x±y＝0 D.x±y＝0
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1①，－＝1②，由①－②得＝，结合题意化简得＝1，即＝，所以双曲线C的渐近线方程为x±2y＝0.
答案　B
3.抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为(　　)
A. B. C.2 D.
解析　设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝＝＝，
∴x＝时， dmin＝.
答案　B
4.经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则·等于(　　)
A.－3 B.－
C.－或－3 D.±
解析　依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，，∴·＝－，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得·＝－.
答案　B
5.(2018·太原一模)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|＝(　　)
A.6 B.8 C.12 D.16
解析　由题意知抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，易知当直线AB垂直于x轴时，△AOB的面积为2，不满足题意，所以可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，与y2＝4x联立，消去x得ky2－4y－4k＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝，y1y2＝－4，所以|y1－y2|＝，所以△AOB的面积为×1×＝，解得k＝±，所以|AB|＝|y1－y2|＝6，故选A.
答案　A
二、填空题
6.(2018·赣州调研)在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________.
解析　易知直线OM的方程为y＝－2x，则线段OM的垂直平分线的方程为2x－4y＋5＝0，把焦点坐标代入2x－4y＋5＝0可求得p＝，从而得到准线方程为y＝－.
答案　y＝－
7.已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________.
解析　∵·＝0，∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
故||min＝2，∴||min＝.
答案　
8.(2018·平顶山模拟)若双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.
解析　双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝1＋b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2.
答案　(1，2]
三、解答题
9.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.
(1)求E的离心率；
(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.
解　(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝a，
l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组消去y，整理得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，
所以|AB|＝|x2－x1|＝，
即a＝，故a2＝2b2，
所以E的离心率e＝＝＝.
(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知
x0＝＝＝－，y0＝x0＋c＝.
由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即＝－1，
得c＝3，从而a＝3，b＝3.
故椭圆E的方程为＋＝1.
10.(2018·石家庄模拟)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两个动点，且＝λ(λ>0).过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
(1)证明：·为定值；
(2)设△ABM的面积为S，求S的最小值.
(1)证明　设直线AB的方程为y＝kx＋1，与抛物线x2＝4y联立得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因此x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
由直线AM：y＝x－，直线BM：y＝x－得
M，即M(2k，－1)，
所以·＝(2k，－2)·
＝(2k，－2)·(4，4k)＝0.
(2)解　|AB|＝4(k2＋1)，点M到直线AB的距离为d＝＝2，
所以S＝·4(k2＋1)·2＝4(k2＋1)≥4，
所以S的最小值为4.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2017·石家庄模拟)已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为(　　)
A. B. C.4 D.5
解析　由·＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝，故选B.
答案　B
12.(2018·大庆质检)设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是________.
解析　如图，因为(＋)·＝0，所以平行四边形OPBF2的对角线互相垂直，即平行四边形OPBF2是菱形，
由椭圆方程＋y2＝1，得a＝2，b＝1，c＝＝，
即||＝||＝.
所以△F1PF2是直角三角形，
设|PF2|＝r1，|PF1|＝r2.
则|PF2|＋|PF1|＝r1＋r2＝4，①
①式两边平方得r＋2r1r2＋r＝16，
又r＋r＝(2c)2＝12，
所以2r1r2＝16－12＝4，即r1r2＝2.
则△F1PF2的面积为r1r2＝×2＝1.
答案　1
13.(2018·西安模拟)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上的点T(2，)到点F1，F2的距离之和等于4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于E，F两点，A为椭圆C的左顶点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.问：以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.
解　(1)由椭圆上的点T(2，)到点F1，F2的距离之和是4，
可得2a＝4，a＝2.
又T(2，)在椭圆上，因此＋＝1，所以b＝2.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)因为椭圆C的左顶点为A，所以点A的坐标为(－2，0).
因为直线y＝kx(k≠0)与椭圆＋＝1交于E，F两点，
设点E(x0，y0)(不妨设x0>0)，则点F(－x0，－y0).
由消去y，得x2＝，
所以x0＝，则y0＝，
所以直线AE的方程为y＝(x＋2).
因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，
令x＝0，得y＝，
即点M .
同理可得点N .
所以|MN|＝
＝.
设MN的中点为P，则点P的坐标为.
则以MN为直径的圆的方程为
x2＋＝，
即x2＋y2＋y＝4，
令y＝0，得x2＝4，即x＝2或x＝－2.
故以MN为直径的圆经过两定点P1(2，0)，P2(－2，0).