2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第2章1第1讲　函数及其表示




知识点
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函数及其表示
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.
在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
了解简单的分段函数，并能简单应用.
单调性
理解函数的单调性及其几何意义.
理解函数的最大值、最小值及其几何意义.
奇偶性
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
指数函数
了解指数函数模型的实际背景.
理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.
知道指数函数是一类重要的函数模型.
对数函数
理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.
知道对数函数是一类重要的函数模型.
了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，且a≠1).
幂函数
了解幂函数的概念.
结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况.
函数的图象
会运用函数图象理解和研究函数的性质.
函数与方程
结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
函数模型
及其应用
了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
第1讲　函数及其表示


1．函数与映射的概念

函数
映射
两集合
A、B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
续　表


函数
映射
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　)
(2)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．(　　)
(3)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．(　　)
(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，则对应关系f是从A到B的映射．(　　)
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　
(教材习题改编)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[0，2) B．(2，＋∞)
C．[0，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：选C.由题意得解得x≥0且x≠2.
下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(　　)
A．y＝()2 B．y＝3＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
解析：选B.对于A.函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B.定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C.函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．
(教材习题改编)已知函数f(x)＝则f(1)＋f(－3)＝________．
解析：f(1)＝1×5＝5，f(－3)＝－3×(－3－4)＝21，故f(1)＋f(－3)＝5＋21＝26.
答案：26
若有意义，则函数y＝x2－6x＋7的值域是________．
解析：因为有意义，所以x－4≥0，即x≥4.
又因为y＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，
所以ymin＝(4－3)2－2＝1－2＝－1.
所以其值域为[－1，＋∞)．
答案：[－1，＋∞)


　　　　　　求函数的定义域
[典例引领]
(1)(2018·河南濮阳一高第二次检测)函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(　　)
A.
B.
C．(－1，0)∪
D．(－∞，－1)∪
(2)如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　　)
A．－2　 B．－1
C．1 D．2
(3)若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝的定义域为________．
【解析】　(1)由1－2x>0，x＋1≠0，得x<且x≠－1，所以函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(－∞，－1)∪，故选D.
(2)因为－2x＋a>0，所以x<，所以＝1，所以a＝2.
(3)由得0≤x＜1，即定义域是.
【答案】　(1)D　(2)D　(3)


[提醒]　定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．　
[通关练习]
1．函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A.∪ B.∪
C. D.
解析：选B.由
得－1＜x≤2，且x≠0.
2．函数f(x)＝(a>0且a≠1)的定义域为________．
解析：由⇒⇒0 故所求函数的定义域为(0，2]．
答案：(0，2]
3．若函数f(x)＝的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意可得mx2＋mx＋1≥0恒成立．
当m＝0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则
解得0 综上可得：0≤m≤4.
答案：[0，4]

　　　　　　求函数的解析式
[典例引领]
(1)已知f＝x2＋，则f(x)的解析式为________．
(2)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为________．
(3)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．
(4)函数f(x)满足方程2f(x)＋f＝2x，x∈R且x≠0，则f(x)＝________．
【解析】 (1)配凑法：由于f＝x2＋＝－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．
(2)换元法：令＋1＝t，由于x>0，
所以t>1且x＝，
所以f(t)＝lg，
即f(x)＝lg(x>1)．
(3)待定系数法：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
又f(0)＝c＝3.
所以f(x)＝ax2＋bx＋3，
所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
所以
所以
所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
(4)解方程组法：因为2f(x)＋f＝2x，①
将x换成，则换成x，得2f＋f(x)＝.②
由①②消去f，得3f(x)＝4x－.
所以f(x)＝x－(x∈R且x≠0)
【答案】　(1)f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)　(2)f(x)＝lg(x＞1)　(3)f(x)＝x2－x＋3　(4)x－(x∈R且x≠0)

若本例(4)条件变为2f(x)＋f(－x)＝2x，求f(x)．
解：因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①
将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②
由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，
所以f(x)＝2x.

求函数解析式的4种方法

[通关练习]
1．已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝__________.
解析：法一：设t＝＋1，
则x＝(t－1)2(t≥1)；
代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
故f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二：因为x＋2＝()2＋2＋1－1
＝(＋1)2－1，
所以f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
即f(x)＝x2－1(x≥1)．
答案：x2－1(x≥1)
2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)的解析式为f(x)＝__________．
解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，
所以a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c.
又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根，
所以Δ＝4－4c＝0，c＝1，
故f(x)＝x2＋2x＋1.
答案：x2＋2x＋1

　　　　　　分段函数(高频考点)
分段函数是一类重要的函数，是高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对分段函数的考查主要有以下四个命题角度：
(1)由分段函数解析式，求函数值(或最值)；
(2)由分段函数解析式与方程，求参数的值(或范围)；
(3)由分段函数解析式，求解不等式．
(4)由分段函数解析式，判断函数的奇偶性．(本章第3讲再讲解)
[典例引领]
角度一　由分段函数解析式，求函数值(或最值)
(1)已知f(x)＝则f＋f的值等于(　　)
A．－2　　　 B．4
C．2 D．－4
(2)已知函数f(x)＝则f的值是________．
【解析】 (1)由题意得f＝2×＝.
f＝f＝f＝2×＝.
所以f＋f＝4.
(2)由题意可得f＝log2＝－2，
所以f＝f(－2)＝3－2＋1＝.
【答案】 (1)B　(2)
角度二　由分段函数解析式与方程，求参数的值
(或范围)
(分类讨论思想)(2017·高考山东卷)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 当01，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，因为f(a)＝f(a＋1)，所以＝2a，解得a＝或a＝0(舍去)．所以f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.当a>1时，a＋1>2，所以f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，所以2(a－1)＝2a，无解．当a＝1时，a＋1＝2，f(1)＝0，f(2)＝2，不符合题意．综上，f＝6.故选C.
【答案】 C
角度三　由分段函数解析式，求解不等式
(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
【解析】　当x>0时，f(x)＝2x>1恒成立，当x－>0，即x>时，f＝2x－>1，当x－≤0，即0，则不等式f(x)＋f>1恒成立．当x≤0时，f(x)＋f＝x＋1＋x＋＝2x＋>1，所以－ 【答案】

分段函数问题的求解策略
(1)分段函数的求值问题，首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．
(2)对求含有参数的自变量的函数值，如果不能确定自变量的范围，那么应采取分类讨论．
(3)解由分段函数构成的不等式，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论．　
[通关练习]
1．设f(x)＝则f(f(－2))＝(　　)
A．－1　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C.由题意得f(f(－2))＝f(2－2)＝f＝1－＝1－＝.
2．已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝(　　)
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：选B.由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，
解得a＝.
故f(－3)＝()－3＋1＝9，
从而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
3．已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．
解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，
则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，
解得－1 答案：(－1，3)

　　　　　　与函数有关的新定义问题
[典例引领]
若函数f(x)满足：在定义域D内存在实数x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立，则称函数f(x)为“1的饱和函数”．给出下列三个函数：
①f(x)＝；　②f(x)＝2x；　③f(x)＝lg(x2＋2)．
其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为(　　)
A．①③　　 B．②
C．①② D．③
【解析】 对于①，若存在实数x0，满足f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)，则＝＋1，所以x＋x0＋1＝0(x0≠0，且x0≠－1)，显然该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数x0，满足f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)，则2x0＋1＝2x0＋2，解得x0＝1，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数x0，满足f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)，则lg[(x0＋1)2＋2]＝lg(x＋2)＋lg(12＋2)，化简得2x－2x0＋3＝0，显然该方程无实根，因此③不是“1的饱和函数”．
【答案】　B

解决与函数有关的新定义问题的策略
(1)根据定义合理联想，即分析有关信息，通过联想和类比、拆分或构造，可以将新函数转化为我们熟知的基本初等函数进行求解．
(2)捕捉解题信息，紧扣定义，根据定义与条件一步步进行推理求解．
(3)合理、巧妙的赋值，即给x，y等量一些特殊的数值，求得特殊函数值，从而将新定义的函数进行化简和转化，利用已有函数知识进一步求解．
[通关练习]
1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1，3}的同族函数有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±，所以函数的定义域可以是{0，}，{0，－}，{0，，－}，故值域为{1，3}的同族函数共有3个．
2．(2018·石家庄第一次模拟)若定义在R上的函数f(x)当且仅当存在有限个非零自变量x，使得f(－x)＝f(x)，则称f(x)为“类偶函数”，则下列函数中为类偶函数的是(　　)
A．f(x)＝cos x B．f(x)＝sin x
C．f(x)＝x2－2x D．f(x)＝x3－2x
解析：选D.A中函数为偶函数，则在定义域内均满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；B中，当x＝kπ(k∈Z)时，满足f(x)＝f(－x)，不符合题意；C中，由f(x)＝f(－x)，得x2－2x＝x2＋2x，解得x＝0，不符合题意；D中，由f(x)＝f(－x)，得x3－2x＝－x3＋2x，解得x＝0或x＝±，满足题意，故选D.

在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．
函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．
判断一个函数解析式是否成立，一是根据“函数定义域中的任意一个自变量x在对应关系下都有唯一的函数值y与其对应”进行判断；二是结合函数解析式判断是否满足题目所给的特性．
分段函数图象的画法及简单应用
(1)分段函数是一个函数，只有一个图象，作图时只能将各段函数图象画在同一坐标系中，而不能将它们分别画在不同的坐标系中；根据函数的概念，可知在函数图象中，横坐标相同的地方不能有两个或两个以上
的点；画每一段函数图象时，可以先不管定义域的限制，用虚线画出其图象，再用实线保留其在该段定义域内的图象即可．
(2)已知分段函数的函数值范围求自变量(或参数)的范围问题，一般画出分段函数的图象，观察在相应区间上函数图象与相应直线交点的横坐标的范围，列出函数满足的不等式(组)，求解即可．
易错防范
(1)因为函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R，一定要注明函数的定义域．
(2)分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2018·广东深圳模拟)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－2，1)　　B．[－2，1]　　C．(0，1)　　D．(0，1]
解析：选C.由题意得解得0 2．(2018·宝鸡市质量检测(一))已知函数f(x)＝，则f()的值等于(　　)
A．－1 B．1 C. D.
解析：选B.依题意得f()＝f()＋1＝f(－)＋1＋1＝2cos(－)＋2＝2×(－)＋2＝1，选B.
3．已知f(x－1)＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析：选B.令t＝x－1，则x＝2t＋2，
所以f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，
所以f(a)＝4a－1＝6，即a＝.
4．已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2，3]，则y＝f(2x－1)的定义域为(　　)
A．[－3，7] B．[－1，4]
C．[－5，5] D.
解析：选D.因为y＝f(x＋1)的定义域为[－2，3]，所以－1≤x＋1≤4.
由－1≤2x－1≤4，得0≤x≤，
即y＝f(2x－1)的定义域为.
5．定义a⊕b＝设函数f(x)＝ln x⊕x，则f(2)＋f＝(　　)
A．4ln 2 B．－4ln 2
C．2 D．0
解析：选D.2×ln 2>0，所以f(2)＝2×ln 2＝2ln 2.
因为×ln <0，所以f＝＝－2ln 2.
则f(2)＋f＝2ln 2－2ln 2＝0.
6．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．

x
1
2
3
f(x)
1
3
1
　
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))的值为________，满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为________．
解析：因为g(1)＝3，f(3)＝1，所以f(g(1))＝1.
当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，不合题意．
当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，符合题意．
当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，不合题意．
答案：1　2
7.若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．　
解析：由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，所以f(x)＝
答案：f(x)＝
8．设函数f(x)＝若f(f(a))＝－，则实数a＝________.
解析：若f(a)≥0，则f(a)＝1，此时只能是a>0，于是a＝4；若f(a)<0，则f(a)＝－2，此时只能是a<0，于是a＝－(若a>0，由－1＝－2，解得a＝－2不满足题意)．
答案：4或－
9．已知f(x)＝
(1)求f(－)的值；
(2)若f(a)＝4且a>0，求实数a的值．
解：(1)由题意f(－)＝f(－＋1)＝f(－)＝f()＝2.
(2)当0 10．已知f(x)＝x2－1，g(x)＝
(1)求f(g(2))与g(f(2))；
(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．
解：(1)g(2)＝1，f(g(2))＝f(1)＝0；
f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝2.
(2)当x>0时，f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x；
当x<0时，f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.
所以f(g(x))＝
同理可得g(f(x))＝

1．设函数f(x)＝
则(a≠b)的值为(　　)
A．a B．b
C．a，b中较小的数 D．a，b中较大的数
解析：选C.若a－b>0，即a>b，则f(a－b)＝－1，则＝[(a＋b)－(a－b)]＝b(a>b)；若a－b<0，即a 2．设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：∀x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x))．若f(x)＝g(x)＝则(　　)
A．(f·f)(x)＝f(x)
B．(f·g)(x)＝f(x)
C．(g·f)(x)＝g(x)
D．(g·g)(x)＝g(x)
解析：选A.对于A，(f·f)(x)＝f(f(x))＝当x>0时，f(x)＝x>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x；当x<0时，f(x)＝x2>0，(f·f)(x)＝f(x)＝x2；当x＝0时，(f·f)(x)＝f 2(x)＝0＝02，因此对任意的x∈R，有(f·f)(x)＝f(x)，故A正确，选A.
3．设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围为________．
解析：由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.
当a<1时，有3a－1≥1，
所以a≥，所以≤a<1.
当a≥1时，有2a≥1，
所以a≥0，所以a≥1，综上，a≥.
答案：
4．已知函数f(x)＝对于定义域内的任何x均有f(x)＋f＝0，则a2 018＋b2 018＝__________．
解析：由题意得＋＝0，
即(a＋b)x2＋2(ab＋1)x＋a＋b＝0.
所以，
则有a＝1，b＝－1或a＝－1，b＝1.
所以a2 018＋b2 018＝(－1)2 018＋12 018＝2.
答案：2
5．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象．

解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)得解得a＝－1，b＝1，
所以f(x)＝
(2)f(x)的图象如图：

6．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨，3x吨．
(1)求y关于x的函数；
(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，
乙的用水量也不超过4吨，y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4且5x>4时，
y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8；当乙的用水量超过4吨时，即3x>4，y＝24x－9.6，
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均为单调递增，
当x∈时，y≤f<26.4；
当x∈时，y≤f<26.4；
当x∈时，令24x－9.6＝26.4，
解得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝7.5吨，
所交水费为y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5吨，所交水费y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．