2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第3章6第6讲　利用导数研究函数零点问题

第6讲　利用导数研究函数零点问题


　　　　　　数形结合法研究零点问题
[典例引领]
已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.
(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．
【解】　(1)F(x)＝ax2－2ln x，
其定义域为(0，＋∞)，
所以F′(x)＝2ax－
＝(x＞0)．
①当a＞0时，由ax2－1＞0，得x＞，
由ax2－1＜0，得0＜x＜，
故当a＞0时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
②当a≤0时，F′(x)＜0(x＞0)恒成立．
故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．
(2)原式等价于方程a＝在区间[，e]上有两个不等解．
令φ(x)＝，由φ′(x)＝易知，φ(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，
则φ(x)max＝φ()＝，
而φ(e)＝，φ()＝.
由φ(e)－φ()＝－＝＝＜＜0，
所以φ(e)＜φ()．
所以φ(x)min＝φ(e)，
如图可知φ(x)＝a有两个不相等的解时，需≤a＜.
即f(x)＝g(x)在[，e]上有两个不相等的解时a的取值范围为[，)．

含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数图象，根据图象特征求参数的范围．　

　　　　　　利用函数性质研究函数零点
[典例引领]
已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．
(1)当a＝4时，求函数y＝g(x)在x＝0处的切线方程；
(2)如果关于x的方程g(x)＝2exf(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围．
【解】　(1)当a＝4时，g(x)＝(－x2＋4x－3)ex，g(0)＝－3，
g′(x)＝(－x2＋2x＋1)ex，g′(0)＝1，
所以，所求的切线方程为y＋3＝x－0，即y＝x－3.
(2)由g(x)＝2exf(x)，
可得2xln x＝－x2＋ax－3，a＝x＋2ln x＋.
设h(x)＝x＋2ln x＋(x>0)，
所以h′(x)＝1＋－＝，
所以x在上变化时，h′(x)，h(x)的变化如下：

x

1
(1，e)
h′(x)
－
0
＋
h(x)
单调递减
极小值(最小值)
单调递增
又h＝＋3e－2，h(1)＝4，h(e)＝＋e＋2.
且h(e)－h＝4－2e＋<0.
所以实数a的取值范围为4 即a的取值范围为.

利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．　

　　　　　　构造函数法研究零点问题
[典例引领]
设函数f(x)＝x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当m≥1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．
【解】　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝，
m≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上递增，
m＞0时，f′(x)＝，
当0＜x＜时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，
当x＞时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
综上m≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
m＞0时，函数f(x)的单调增区间是(，＋∞)，单调减区间是(0，)．
(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(m＋1)x－mln x，x＞0，
问题等价于求函数F(x)的零点个数，
F′(x)＝－，当m＝1时，
F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，
注意到F(1)＝＞0，F(4)＝－ln 4＜0，
所以F(x)有唯一零点；
当m＞1时，0＜x＜1或x＞m时F′(x)＜0，1＜x＜m时F′(x)＞0，
所以函数F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，
注意到F(1)＝m＋＞0，F(2m＋2)＝－mln (2m＋2)＜0，
所以F(x)有唯一零点，
综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图象只有一个交点．

(1)涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．
(2)解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．　

(1)确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象．
(2)方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理．可以通过构造函数g(x)的方法，把问题转化为研究构造的函数g(x)的零点问题，研究函数g(x)零点的策略：
①如果函数g(x)在已知区间上是单调的，则其最多只有一个零点，再结合函数的零点存在定理，确定其零点是否存在．
②如果函数g(x)在已知区间不是单调的，则求出这个函数的极值点和单调区间，再结合g(x)的极值与零的大小，以及函数g(x)的单调性、结合零点存在定理判断其零点的个数．
(3)利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究，具体操作方法见本节考点一、二、三的[规律方法]．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)
A．－　　　　　　　　　　 B．
C． D．1
解析：选C.由f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，得f(2－x)＝(2－x)2－2(2－x)＋a[e2－x－1＋e－(2－x)＋1]＝x2－4x＋4－4＋2x＋a(e1－x＋ex－1)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)，所以f(2－x)＝f(x)，即x＝1为f(x)图象的对称轴．由题意，f(x)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x＝1，即f(1)＝12－2×1＋a(e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a＝.故选C.
2．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选B.f′(x)＝3ax2－6x，
当a＝3时，f′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，
则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0；x∈时，f′(x)>0，注意f(0)＝1，f＝>0，则f(x)的大致图象如图(1)所示：

不符合题意，排除A、C.
当a＝－时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意f(0)＝1，f＝－，则f(x)的大致图象如图(2)所示．

不符合题意，排除D.
3.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数的图象如图所示：
(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)有三个零点，求c的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
所以f′(x)＝x2＋2ax＋b.
因为f′(x)＝0的两个根为－1，2，
所以
解得a＝－，b＝－2，
由导函数的图象可知，当－1＜x＜2时，f′(x)＜0，函数单调递减，
当x＜－1或x＞2时，f′(x)＞0，函数单调递增，
故函数f(x)在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递增，
在(－1，2)上单调递减．
(2)由(1)得f(x)＝x3－x2－2x＋c，
函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，
在(－1，2)上是减函数，
所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝＋c，
极小值为f(2)＝c－.
而函数f(x)恰有三个零点，故必有
解得－＜c＜.
所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是.
4．已知f(x)＝＋－3，F(x)＝ln x＋－3x＋2.
(1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数．
解：(1)f′(x)＝－＋＝，
令f′(x)＞0，解得x＞1，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，
所以f(x)在(0，1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增．
(2)F′(x)＝f(x)＝＋－3，
由(1)得∃x1，x2，满足0＜x1＜1＜x2，
使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，＋∞)上大于0，
即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增，
而F(1)＝0，x→0时，F(x)→－∞，x→＋∞时，
F(x)→＋∞，
画出函数F(x)的草图，如图所示．

故F(x)在(0，＋∞)上的零点有3个．

1．已知函数f(x)＝(2－a)(x－1)－2ln x(a∈R)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在上无零点，求a的取值范围．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x－1－2ln x，
则f′(x)＝1－＝，
由f′(x)＞0，得x＞2，
由f′(x)＜0，得0＜x＜2，
故f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)因为f(x)＜0在区间上恒成立不可能，
故要使函数f(x)在上无零点，
只要对任意的x∈，f(x)＞0恒成立，
即对x∈，a＞2－恒成立．
令h(x)＝2－，x∈，
则h′(x)＝，
再令m(x)＝2ln x＋－2，x∈，
则m′(x)＝＜0，
故m(x)在上为减函数，
于是，m(x)＞m＝4－2ln 3＞0，
从而h′(x)＞0，于是h(x)在上为增函数，
所以h(x)＜h＝2－3ln 3，
所以a的取值范围为[2－3ln 3，＋∞)．
2．(2018·豫南九校联考)对于函数y＝H(x)，若在其定义域内存在x0，使得x0·H(x0)＝1成立，则称x0为函数H(x)的“倒数点”．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝(x＋1)2－1.
(1)求证：函数f(x)有“倒数点”，并讨论函数f(x)的“倒数点”的个数；
(2)若当x≥1时，不等式xf(x)≤m[g(x) －x]恒成立，试求实数m的取值范围．
解：(1)证明：设h(x)＝ln x－(x＞0)，
则h′(x)＝＋＞0(x＞0)，
所以h(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数．
而h(1)＜0，h(e)＞0，
所以函数h(x)有零点且只有一个零点．
所以函数f(x)有“倒数点”且只有一个“倒数点”．
(2)xf(x)≤m[g(x)－x]等价于2x·ln x≤m(x2－1)，
设d(x)＝2ln x－m，x≥1.
则d′(x)＝，x≥1，
易知－mx2＋2x－m＝0的判别式为Δ＝4－4 m2.
①当m≥1时，d′(x)≤0，d(x)在[1，＋∞)上单调递减，d(x)≤d(1)＝0，符合题意；
②当0＜m＜1时，方程－mx2＋2x－m＝0有两个正根且0＜x1＜1＜x2，则函数d(x)在(1，x2)上单调递增，此时d(x)＞d(1)＝0，不合题意；
③当m＝0时，d′(x)＞0，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)＞d(1)＝0，不合题意；
④当－1＜m＜0时，方程－mx2＋2x－m＝0有两个负根，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)＞d(1)＝0，不合题意；
⑤当m≤－1时，d′(x)≥0，d(x)在(1，＋∞)上单调递增，此时d(x)＞d(1)＝0，不合题意．
综上，实数m的取值范围是[1，＋∞)．