2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第3章7第7讲　定积分与微积分基本定理

第7讲　定积分与微积分基本定理

1．定积分的概念
在f(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．
2．定积分的几何意义
设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0，则定积分f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
3．定积分的性质
(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；
(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；
(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a 4．微积分基本定理
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿­莱布尼茨公式．
其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．
为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)dx＝f(t)dt.(　　)
(2)若f(x)是偶函数，则f(x)dx＝2f(x)dx.(　　)
(3)若f(x)是奇函数，则f(x)dx＝0.(　　)
(4)曲线y＝x2与直线y＝x所围成的区域面积是(x2－x)dx.(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
exdx的值等于(　　)
A．e　　　B．1－e　　　C．e－1　　　D.(e－1)
解析：选C.exdx＝ex|＝e1－e0＝e－1.
如图，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是(　　)

A．1 B. C. D．2
解析：选B.由得x1＝0，x2＝2.
所以S＝(－x2＋2x＋1－1)dx＝(－x2＋2x)dx＝|＝－＋4＝.
若∫0(sin x－acos x)dx＝2，则实数a等于________．
解析：由题意知(－cos x－asin x)|0＝1－a＝2，a＝－1.
答案：－1
设f(x)＝(e为自然对数的底数)，
则f(x)dx的值为________．
解析：因为f(x)＝
所以f(x)dx＝x2dx＋dx
＝x3＋ln x＝＋ln e＝.
答案：


　　　　　　定积分的计算
[典例引领]
利用微积分基本定理求下列定积分：
(1)(x2＋2x＋1)dx；
(2)(sin x－cos x)dx；
(3)|1－x|dx；
(4)dx.
【解】　(1)(x2＋2x＋1)dx
＝x2dx＋2xdx＋1dx
＝＋x2＋x＝.
(2)(sin x－cos x)dx
＝sin xdx－cos xdx＝(－cos x)－sin x＝2.
(3)|1－x|dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx
＝|＋|
＝－0＋－＝1.
(4)dx＝e2xdx＋dx
＝e2x＋ln x＝e4－e2＋ln 2－ln 1
＝e4－e2＋ln 2.

若本例(3)变为“|x2－1|dx”，试求之．
解：|x2－1|dx
＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝＋
＝＋＝.

计算定积分的解题步骤
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．
(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．　
(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．
[通关练习]
1.e|x|dx的值为(　　)
A．2　　　　 B．2e
C．2e－2 D．2e＋2
解析：选C.e|x|dx＝e－xdx＋exdx
＝－e－x|＋ex|
＝[－e0－(－e)]＋(e－e0)
＝－1＋e＋e－1＝2e－2，故选C.
2．若(x2＋mx)dx＝0，则实数m的值为(　　)
A．－ B．－
C．－1 D．－2
解析：选B.由题意知(x2＋mx)dx＝|＝＋＝0，得m＝－.
3．(2018·泉州模拟)dx＝________．
解析：dx＝dx＋xdx，xdx＝，dx表示四分之一单位圆的面积，为，所以结果是.
答案：

　　　　　　利用定积分计算平面图形的面积(高频考点)
利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题的形式出现，一般难度较小．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度：
(1)根据条件求平面图形的面积；
(2)利用平面图形的面积求参数．
[典例引领]
角度一　根据条件求平面图形的面积
(2018·新疆第二次适应性检测)由曲线y＝x2＋1，直线y＝－x＋3，x轴正半轴与y轴正半轴所围成图形的面积为(　　)
A．3 B.
C. D.
【解析】　由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，
由，解得(舍去)或，即A(1，2)，结合图形可知，所求的面积为(x2＋1)dx＋×22＝|＋2＝，选B.

【答案】　B
角度二　利用平面图形的面积求参数
已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为________．

【解析】　f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，因为f′(0)＝0，所以b＝0，所以f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a＜0)．S阴影＝－(－x3＋ax2)dx＝a4＝，所以a＝－1.
【答案】　－1

用定积分求平面图形面积的四个步骤
　
(2018·山西大学附中第二次模拟)曲线y＝2sin x(0≤x≤π)与直线y＝1围成的封闭图形的面积为________．
解析：令2sin x＝1，得sin x＝，
当x∈[0，π]时，得x＝或x＝，
所以所求面积S＝ (2sin x－1)dx＝(－2cos x－x) ＝2－.
答案：2－

　　　　　　定积分在物理中的应用
[典例引领]
设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m；力的单位：N)．
【解析】　变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为
W＝F(x)dx＝(x2＋1)dx
＝＝342(J)．
【答案】　342

定积分在物理中的两个应用
(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝v(t)dt.
(2)变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝F(x)dx.　
以初速40 m/s竖直向上抛一物体，t s时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为(　　)
A. m　　　　　　　　　 B. m
C. m D. m
解析：选A.由v＝40－10t2＝0，
得t2＝4，t＝2.
所以h＝(40－10t2)dt＝
＝80－＝(m).

求定积分的方法
(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：
①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；
②计算F(b)－F(a)．
(2)利用定积分的几何意义求定积分．
求曲边多边形面积的步骤
(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形．
(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限．
(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和．
(4)计算定积分．
易错防范
(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量．
(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．
(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积为正，而定积分的结果可以为负．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．定积分(3x＋ex)dx的值为(　　)
A．e＋1　　　 B．e
C．e－ D．e＋
解析：选D.(3x＋ex)dx＝＝＋e－1＝＋e.
2．若f(x)＝f(f(1))＝1，则a的值为(　　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析：选A.因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝3t2dt＝t3|＝a3，所以由f(f(1))＝1得a3＝1，所以a＝1.
3．一物体受到与它运动方向相反的力：F(x)＝ex＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝1时F(x)所做的功等于(　　)
A．＋ B．－
C．－＋ D．－－
解析：选D.由题意知W＝－dx
＝－＝－－.
4．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝(　　)
A．－1 B．－
C． D．1
解析：选B.因为f(x)＝x2＋2f(x)dx，
所以f(x)dx＝|
＝＋2f(x)dx，所以f(x)dx＝－.
5．直线y＝x＋4与曲线y＝x2－x＋1所围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.因为x＋4＝x2－x＋1的解为x＝－1或x＝3，
所以封闭图形的面积为S＝[x＋4－(x2－x＋1)]dx
＝(－x2＋2x＋3)dx
＝|＝.
6．定积分(x2＋sin x)dx＝________．
解析：(x2＋sin x)dx
＝x2dx＋sin xdx
＝2x2dx＝2·＝.
答案：
7.(x2tan x＋x3＋1)dx＝________．
解析：因为x2tan x＋x3是奇函数．
所以(x2tan x＋x3＋1)dx＝1dx＝x|＝2.
答案：2
8．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为________．
解析：f(x)dx＝(ax2＋c)dx＝＝a＋c＝f(x0)＝ax＋c，
所以x＝，x0＝±.
又因为0≤x0≤1，所以x0＝.
答案：
9．求下列定积分：
(1)dx；
(2)(cos x＋ex)dx.
解：(1)dx＝xdx－x2dx＋dx
＝|－|＋ln x|＝－＋ln 2＝ln 2－.
(2)(cos x＋ex)dx＝cos xdx＋exdx
＝sin x|＋ex|＝1－.
10．已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．
解：因为(1，2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，
设过点(1，2)处的切线的斜率为k，
则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2，
所以过点(1，2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，
即y＝2x.
y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形如图中阴影部分：

由可得交点A(2，4)，O(0，0)，故y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积
S＝(2x－x2)dx＝|＝4－＝.

1．由曲线y＝2－x2，直线y＝x及x轴所围成的封闭图形(图中的阴影部分)的面积是(　　)

A. B.＋
C. D.＋1
解析：选B.把阴影部分分成两部分(y轴左侧部分和右侧部分)求面积．
易得S＝(2－x2)dx＋(2－x2－x)dx
＝|＋|
＝2－＋2－－＝＋.
2．(2018·湖南省湘中名校高三联考)设f(x)＝，则f(x)dx的值为(　　)
A.＋ B.＋3
C.＋ D.＋3
解析：选A.f(x)dx＝dx＋(x2－1)dx＝π×12＋|＝＋，故选A.
3．汽车以72 km/h的速度行驶，由于遇到紧急情况而刹车，汽车以等减速度a＝4 m/s2刹车，则汽车从开始刹车到停止走的距离为________m.
解析：先求从刹车到停车所用的时间t，
当t＝0时，v0＝72 km/h＝20 m/s，
刹车后，汽车减速行驶，速度为v(t)＝v0－at＝20－4t.
令v(t)＝0，可得t＝5 s，
所以汽车从刹车到停车，所走过的路程为：
(20－4t)dt＝(20t－2t2)|＝50(m)．
即汽车从开始刹车到停止，共走了50 m.
答案：50
4．函数y＝(sin x＋cos xsin x)dx的最大值是________．
解析：y＝(sin x＋cos xsin x)dx
＝dx
＝|
＝－cos t－cos 2t＋
＝－cos t－(2cos2t－1)＋
＝－(cos t＋1)2＋2，
当cos t＝－1时，ymax＝2.
答案：2
5．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
由f(－1)＝2，f′(0)＝0，
得即
所以f(x)＝ax2＋2－a.
又f(x)dx＝(ax2＋2－a)dx
＝|
＝2－a＝－2.
所以a＝6，从而f(x)＝6x2－4.
(2)因为f(x)＝6x2－4，x∈[－1，1]．
所以当x＝0时，f(x)min＝－4；
当x＝±1时，f(x)max＝2.
6．如图，在曲线C：y＝x2，x∈[0，1]上取点P(t，t2)，过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x＝0，x＝1及直线l围成的图形包括两部分，面积分别记为S1，S2.当S1＝S2时，求t的值．

解：根据题意，直线l的方程是y＝t2，且0＜t＜1.
结合题图，得交点坐标分别是
A(0，0)，P(t，t2)，B(1，1)．
所以S1＝(t2－x2)dx＝|
＝t3－t3＝t3，0＜t＜1.
S2＝(x2－t2)dx＝|
＝－
＝t3－t2＋，0＜t＜1.
由S1＝S2，
得t3＝t3－t2＋，
所以t2＝.又0＜t＜1，
所以t＝.
所以当t＝时，S1＝S2.