2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第4章2第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：tan α＝．
[提醒]　基本关系式的变形
sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝tan αcos α，cos α＝，(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
2．六组诱导公式

组数
一
二
三
四
五
六
角
α＋2kπ(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin α
sin α
cos__α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos__α
－cos α
sin α
－sin__α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan__α


口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
简记口诀：把角统一表示为±α(k∈Z)的形式，奇变偶不变，符号看象限．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)
(4)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　)
A．－　　 B．－
C. D.
解析：选A.因为α是第二象限角，所以cos α＜0，可排除选项C，D，又sin2α＋cos2α＝1，所以排除选项B.
若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是(　　)
A．－2 B．2
C．±2 D.
解析：选B.tan θ＋＝＋＝＝2.
sin 2 490°＝________；cos＝________．
解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)
＝－sin 30°＝－.
cos＝cos＝cos(π＋)
＝－cos ＝－.
答案：－　－
化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
解析：原式＝·(－sin α)·cos(－α)
＝·(－sin α)·cos α
＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
答案：－sin2α


　　　　　　同角三角函数的基本关系式(高频考点)
同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度：
(1)知弦求弦；
(2)知弦求切；
(3)知切求弦．
[典例引领]
角度一　知弦求弦
(1)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为(　　)
A．－　　 B．－
C. D.
(2)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，)，则sin θ－cos θ的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
【解析】　(1)因为sin(π－α)＝sin α＝，≤α≤π，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
(2)(sin θ＋cos θ)2＝，所以1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－＝，可得sin θ－cos θ＝±.又因为θ∈(0，)，sin θ 【答案】　(1)A　(2)C
角度二　知弦求切
(方程思想)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，求tan θ.
【解】　法一：因为sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，所以sin θcos θ＝－.
由根与系数的关系知，sin θ，cos θ是方程x2－x－＝0的两根，所以x1＝，x2＝－.
又sin θcos θ＝－＜0，所以sin θ＞0，cos θ＜0，所以sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝＝－.
法二：同法一得，sin θcos θ＝－，所以＝－.
齐次化切得，＝－，即60tan2θ＋169tan θ＋60＝0.
解得tan θ＝－，或tan θ＝－.
由得θ∈，所以tan θ＝－.
角度三　知切求弦
(2016·高考全国卷Ⅲ)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)
A. B.
C．1 D.
【解析】　法一：由tan α＝＝，cos2α＋sin2α＝1，得或则sin 2α＝2sin αcos α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＋＝.
法二：cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.
【答案】　A

同角三角函数基本关系式的应用技巧
(1)知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解．如例1­1.
(2)知弦求切：常通过平方关系sin2α＋cos2α＝1及商数关系tan α＝结合诱导公式进行求解．如例1­2.
(3)知切求弦：通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后用平方关系求解．若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，如＝；asin2α＋bcos2α＋csin αcos α＝
＝.如例1­3.　
[通关练习]
1．已知α是第二象限的角，tan α＝－，则cos α＝________．
解析：因为α是第二象限的角，
所以sin α＞0，cos α＜0，由tan α＝－，
得cos α＝－2sin α，代入sin2α＋cos2α＝1中，
得5sin2α＝1，所以sin α＝，cos α＝－.
答案：－
2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－，求sin α＋cos α的值．
解：由tan α＝－，
得sin α＝－cos α，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，
所以cos2α＝，易知cos α＜0，
所以cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－.

　　　　　　诱导公式的应用
[典例引领]
(1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则等于(　　)
A．－　　　　　　　　　　 B.
C．0 D.
(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．
【解析】　(1)由题可知tan θ＝3，原式＝＝＝.
(2)因为cos＝cos
＝－cos＝－a.
sin＝sin＝cos＝a，
所以cos＋sin＝0.
【答案】　(1)B　(2)0

1．若本例(1)的条件3x－y＝0改为4x＋3y＝0，则＝________．
解析：由题可知tan θ＝－，
原式＝
＝
＝＝＝＝.
答案：
2．若本例(2)的条件cos＝a改为sin＝a，则cos＝________．
解析：cos＝cos
＝－sin＝－a.
答案：－a

(1)利用诱导公式化简的基本思路
①分析结构特点，选择恰当公式；
②利用公式化成单角三角函数；
③整理得最简形式．
(2)利用诱导公式化简的基本要求
①化简过程是恒等变形；
②结构要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．　
[通关练习]
1．(2018·福建省毕业班质量检测)若sin(＋α)＝－，且α∈(，π)，则sin(π－2α)＝(　　)
A．　　　　　　　　　　　 B．
C．－ D．－
解析：选D.由sin(＋α)＝cos α＝－，且α∈(，π)，得sin α＝，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－，选项D正确．
2．sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＝________．
解析：原式＝(－sin 1 071°)sin 99°＋sin 171°sin 261°
＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0.故填0.
答案：0
3．已知A＝＋(k∈Z)，求A的值构成的集合．
解：当k为偶数时，A＝＋＝2；
当k为奇数时，A＝－＝－2.
所以A的值构成的集合是{2，－2}．

诱导公式的再理解
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是k·＋α中的整数k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·＋α中，将α看成锐角时k·＋α所在的象限．
三角函数求值与化简的三种常用方法
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)
＝tan＝….
易错防范
(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式有关，如：sin23α＋cos23α＝1，＝tan .
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．计算：sin π＋cos π＝(　　)
A．－1　　　　B．1　　　　C．0　　　　D.－
解析：选A.原式＝sin＋cos
＝－sin ＋cos＝－－cos ＝－－＝－1.
2．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B.由tan(α－π)＝⇒tan α＝.
又因为α∈，
所以α为第三象限的角，sin＝cos α＝－.
3．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)
A．－　 B．－
C. D.
解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
所以－sin θ＝－cos θ，所以tan θ＝.
因为|θ|<，所以θ＝.
4．(2018·福建四地六校联考)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，可解得tan α＝3，又α为锐角，故sin α＝.
5．已知sin(3π－α)＝－2sin，则sin αcos α＝(　　)
A．－ B.
C.或－ D．－
解析：选A.因为sin(3π－α)＝－2sin，
所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，
所以sin αcos α＝＝＝＝－.故选A.
6．化简：·sin(α－)·cos(－α)＝________．
解析：·sin(α－)·cos(－α)＝·(－cos α)·(－sin α)＝－cos2α.
答案：－cos2α
7．已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________．
解析：由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sin θcos θ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.
答案：－
8．sin π·cos π·tan的值是________．
解析：原式＝sin·cos·tan
＝··
＝××(－)＝－.
答案：－
9．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，
求sin(3π＋α)·tan的值．
解：因为cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α
＝－，所以cos α＝.
所以sin(3π＋α)·tan
＝sin(π＋α)·
＝sin α·tan＝sin α·
＝sin α·＝cos α＝.
10．已知α为第三象限角，
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)因为cos(α－)＝，
所以－sin α＝，
从而sin α＝－.
又α为第三象限角，
所以cos α＝－＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.

1．(2018·湖南郴州模拟)已知sin＝，则cos＝(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：选B.因为sin＝，
所以cos＝sin
＝sin＝，故选B.
2．(2018·成都市第一次诊断性检测)已知α为第二象限角，且sin 2α＝－，则cos α－sin α的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B.法一：因为cos＝－sin 2α＝，又＜α＜π，所以＜α＋＜π，则由cos＝2cos2－1，解得cos＝－，所以cos α－sin α＝cos＝×＝－，故选B.
法二：因为α为第二象限角，所以cos α－sin α＜0，cos α－sin α＝－＝－＝－.
3．化简＝________．
解析：原式＝

＝
＝
＝
＝1.
答案：1
4．已知sin＝，则cos＝________．
解析：cos＝cos
＝cos＝－cos，
而sin＝sin
＝cos＝，
所以cos＝－.
答案：－
5．已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f＋f的值．
解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝sin2x(n＝2k，k∈Z)；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝
＝sin2x(n＝2k＋1，k∈Z)．
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)得
f＋f＝sin2＋sin2
＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.
6．在△ABC中，
(1)求证：cos2＋cos2 ＝1；
(2)若cossintan(C－π)＜0，
求证：△ABC为钝角三角形．
证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
所以＝－，
所以cos＝cos＝sin ，
所以cos2＋cos2＝1.
(2)若cossintan(C－π)＜0，
则(－sin A)(－cos B)tan C＜0，即sin Acos Btan C＜0.
因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，
所以或
所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．