2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第4章9阅读与欣赏（三）

　　　　　　　　　　　三角函数中有关最值问题的6种求法

　可化为二次函数的三角函数最值

函数y＝cos 2x＋2cos x的最小值是________．

【解析】　y＝cos 2x＋2cos x＝2cos2x＋2cos x－1＝22－≥－，当且仅当cos x＝－时取得最小值．

【答案】　－

利用三角函数的有界性把某些三角函数最值化为闭区间上的二次函数的最值，利用求闭区间上二次函数最值的方法求解函数最值．　

　y＝型的最值

函数y＝的最大值和最小值分别为________．

【解析】　法一：y＝，即sin x－ycos x＝3－4y，即sin(x＋φ)＝3－4y，即sin(x＋φ)＝，由正弦函数的有界性，得≤1，该不等式两端平方，得≤y≤，故其最大值为，最小值为.

法二：y＝的几何意义是圆x2＋y2＝1上的点与点(4，3)连线的斜率，设该两点连线的斜率为k，则需使直线y－3＝k(x－4)与圆x2＋y2＝1存在公共点，所以≤1，下面解法同法一．

【答案】　，

y＝类三角函数最值的基本解决方法是法一中的解法，其根据是正弦函数的有界性．　

　函数图象平移距离的最小值

将函数f(x)＝sin 4x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移φ(φ>0)个单位，得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.   D.

【解析】　伸长后得y＝sin 2x，平移后得y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)，该函数为偶函数，则只要2φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋(k∈Z)，取k＝0，得φ的最小值为.故选D.

【答案】　D

函数图象平移后函数解析式发生了变化，解题中首先确定函数图象平移后的解析式，再根据新函数具备的性质求出平移距离的通解，再从通解中确定其最小值．

　y＝Asin(ωx＋φ)中ω的最值

已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，f＝1，当φ＝ω时f(x)在区间上单调递增，则ω的最大值和最小值之和为(　　)

A．2 B．4

C．6 D．8

【解析】　函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，f＝±.

f＝1.当－π＝时，T取最大值．

此时ω最小，ωmin＝2.

当φ＝ω时，f(x)＝sin＝sinω，函数f(x)＝sinω的图象向右平移个单位得函数g(x)＝sin ωx的图象，问题等价于函数g(x)＝sin ωx在区间上单调递增，

故只要×≥2×，即ω≤4.

综上可知2≤ω≤4，故ω的最大值和最小值之和为6.故选C.

【答案】　C

根据已知的函数性质，确定ω满足的条件求得其最值或者取值范围．　

　三角形面积的最值

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2－cos 2(B＋C)＝，若a＝2，则△ABC的面积最大值是________．

【解析】　因为B＋C＝π－A，

所以cos 2(B＋C)＝cos(2π－2A)＝cos 2A＝2cos2A－1，又cos2＝，

所以4cos2－cos 2(B＋C)＝可化为4cos2A－4cos A＋1＝0，

解得cos A＝.

又A为三角形的内角，所以A＝，

由余弦定理得4＝b2＋c2－2bccos A≥2bc－bc＝bc，即bc≤4，

当且仅当b＝c时取等号，

所以S△ABC＝bcsin A≤×4×＝，

即△ABC的面积的最大值为.

【答案】　

该类求解面积问题是建立面积的函数关系式或者使用基本不等式得出三角形两边之积的最大值，再根据三角形面积公式求得最大值．　

　三角形中的三角函数最值

(2018·山西五校高三联考)已知△ABC的面积为S，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若4S＋a2＝b2＋c2，则sin C－cos取最大值时C＝________.

【解析】　4S＋a2＝b2＋c2⇒4×bcsin A＝2bccos A⇒tan A＝1⇒A＝.

sin C－cos＝sin C－cos(B＋A)＝sin C＋cos C＝sin≤.当且仅当C＝时取等号．

【答案】　

求解关键是求出一个角，根据三角形内角和定理，把求解目标化为一个角的三角函数，求该三角函数的最值，要特别注意角的范围．