2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第5章2第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，
||＝．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0．
[提醒]　当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．
即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)
(2)在△ABC中，向量，的夹角为∠ABC.(　　)
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)
(5)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
(教材习题改编)已知向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b＝(　　)
A．(－3，4)　　　　　　　　 B．(3，4)
C．(3，－4) D．(－3，－4)
解析：选A.由a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，所以b＝(－6，8)＝(－3，4)，故选A.
已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
解析：选A.法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.
法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
故选A.
(2017·高考山东卷)已知向量a＝(2，6)，b＝(－1，λ)．若a∥b，则λ＝________．
解析：因为a∥b，所以－1×6＝2λ，所以λ＝－3.
答案：－3
在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
解析：因为＝3，所以＝＝(a＋b)，又因为＝a＋b，所以＝(a＋b)－＝－a＋b.
答案：－a＋b


　　　　　　平面向量基本定理及其应用
[典例引领]
(1)已知平行四边形ABCD中，点E，F满足＝2，＝3，则＝________(用，表示)．
(2)在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则实数t的值为________．
【解析】　(1)如图所示，＝＝(＋)，＝＝(－)，所以＝＋＋＝－(＋)＋＋(－)＝－＋.

(2)因为＝＋，
所以3＝2＋，
即2－2＝－，
所以2＝.
即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，
又因为A，M，Q三点共线，设＝λ.
所以＝－＝λ－
＝λ－＝＋，
又＝t＝t(－)＝t
＝－t.
故解得故t的值是.
【答案】　(1)－＋　(2)

1．在本例(2)中，试用向量，表示.
解：因为＝＋，
所以3＝2＋，即2－2＝－，
2＝，所以＝，
＝－＝－.
2．在本例(2)中，试问点M在AQ的什么位置？
解：由本例(2)的解析＝＋及λ＝，＝2知，＝λ(－)＋
＝＋(1－λ)
＝λ＋(1－λ)＝.
因此点M是AQ的中点．

平面向量基本定理应用的实质和一般思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　
[通关练习]
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D.因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋μ＝.
2．如图，在△ABC中，设＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则＝(　　)

A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
解析：选C.如图，连接BP，则＝＋＝b＋，①

＝＋＝a＋－，②
①＋②，得2＝a＋b－，③
又＝＝(－)
＝，④
将④代入③，得2＝a＋b－，
解得＝a＋b.

　　　　　　平面向量的坐标运算
[典例引领]
已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M、N的坐标及向量的坐标．
【解】　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得
(3)设O为坐标原点，因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．
所以M(0，20)．又因为＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)．所以＝(9，－18)．

向量坐标运算问题的一般思路
(1)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．　
若向量a＝(2，1)，b＝(－1，2)，c＝，则c可用向量a，b表示为(　　)
A．c＝a＋b B．c＝－a－b
C．c＝a＋b D．c＝a－b
解析：选A.设c＝xa＋yb，则＝(2x－y，x＋2y)，所以解得则c＝a＋b.

　　　　　　平面向量共线的坐标表示(高频考点)
平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度：
(1)利用两向量共线求参数；
(2)利用两向量共线求向量坐标；
(3)三点共线问题．
[典例引领]
角度一　利用两向量共线求参数
(2018·合肥市第一次教学质量检测)已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________．
【解析】　a＋2b＝(－3，3＋2k)，3a－b＝(5，9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.
【答案】　－6
角度二　利用两向量共线求向量坐标
已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．
【解析】　因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以解得故点D的坐标为(2，4)．
【答案】　(2，4)
角度三　三点共线问题
已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　)
A．－ B.
C. D.
【解析】　＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
因为A，B，C三点共线，所以，共线，
所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
【答案】　A

(1)向量共线的两种表示形式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，①a∥b⇒a＝λb(b≠0)；②a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
(2)两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．　
[通关练习]
1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6.当m＝－6时，a∥(a＋b)，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充分必要条件．
2．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，得k＝－.
(2)法一：因为A、B、C三点共线，
所以＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以，解得m＝.
法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，
＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．
因为A、B、C三点共线，
所以∥.所以8m－3(2m＋1)＝0，
即2m－3＝0，所以m＝.

对平面向量基本定理的理解
(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组．
(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式．
易错防范
(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．
(2)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．
(3)两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，则x的值是(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．－2
C．±2 D．0
解析：选B.因为a与b方向相反，所以b＝ma，m<0，则有(4，x)＝m(x，1)，所以解得m＝±2.又m<0，所以m＝－2，x＝m＝－2.
2．已知A(1，4)，B(－3，2)，向量＝(2，4)，D为AC的中点，则＝(　　)
A．(1，3) B．(3，3)
C．(－3，－3) D．(－1，－3)
解析：选B.设C(x，y)，则＝(x＋3，y－2)＝(2，4)，所以解得即C(－1，6)．由D为AC的中点可得点D的坐标为(0，5)，所以＝(0＋3，5－2)＝(3，3)．
3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A．2 B.
C．2 D．4
解析：选A.因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又因为＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
4．已知非零不共线向量、，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：选A.由＝λ，得－＝λ(－)，
即＝(1＋λ)－λ.
又2＝x＋y，
所以消去λ得x＋y－2＝0，故选A.
5．(2018·江西吉安模拟)设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)
A．反向平行 B．同向平行
C．互相垂直 D．既不平行也不垂直
解析：选A.由题意得＝＋＝＋，＝＋＝＋，＝＋＝＋，
因此＋＋＝＋(＋＋)＝＋＝－，故＋＋与反向平行．
6．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，若a∥b，则锐角θ＝________．
解析：因为a∥b，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×＝0，得cos2θ＝，所以cos θ＝±，又因为θ为锐角，所以θ＝.
答案：
7．(2018·绵阳诊断)在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
解析：因为B，P，N三点共线，
所以＝t＋(1－t)＝t＋(1－t)，
又因为＝m＋，
所以解得m＝t＝.
答案：
8．(2018·福建四地六校联考)已知A(1，0)，B(4，0)，C(3，4)，O为坐标原点，且＝(＋－)，则||＝________．
解析：由＝(＋－)＝(＋)，知点D是线段AC的中点，故D(2，2)，所以＝(－2，2)，故||＝＝2.
答案：2
9．已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
解：(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，
因为A，B，C三点共线，所以∥.
所以2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.
(2)因为＝2，
所以(a－1，b－1)＝2(2，－2)．
所以解得
所以点C的坐标为(5，－3)．
10.如图，以向量＝a，＝b为邻边作▱OADB，＝，＝，用a，b表示，，.
解：因为＝－＝a－b，
＝＝a－b，
所以＝＋＝a＋b.
因为＝a＋b，
所以＝＋＝＋＝＝a＋b，所以＝－＝a＋b－a－b＝a－b.
综上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.
)
1.如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.因为＝＋，＝，
所以＝＋，
因为＝－，＝，
所以＝－，
所以＝＋
＝＋
＝＋，
因为＝λ＋μ，
所以λ＝，μ＝，
则λ＋μ＝＋＝.
2．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：选B.由＝＋λ，知－＝λ，即＝λ，所以点P在∠BAC的平分线上，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
3．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．

解析：法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，

设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1，1)．因为＝λ＋μ＝，所以解得所以λ＋μ＝.
法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋，又＝＋，所以解得所以λ＋μ＝.
答案：
4．(2018·长沙市统一模拟考试)平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠BAD＝120°，P是平行四边形ABCD内一点，且AP＝1，若＝x＋y，则3x＋2y的最大值为________．
解析：||2＝(x＋y)2＝9x2＋4y2＋2xy×3×2×＝(3x＋2y)2－3(3x)(2y)≥(3x＋2y)2－(3x＋2y)2＝(3x＋2y)2.又||2＝1，因此(3x＋2y)2≤1，故3x＋2y≤2，当且仅当3x＝2y，即x＝，y＝时，3x＋2y取得最大值2.
答案：2
5．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解：(1)由＝＋，可知M，B，C三点共线．
如图令＝λ得＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，

所以λ＝，
所以＝，即面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y得＝x＋，
＝＋y，
由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线⇒
⇒
6．如图，设Ox，Oy为平面内相交成60°角的两条数轴，e1、e2分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe1＋ye2，则把有序实数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标．若的坐标为(1，1)．

(1)求||；
(2)过点P作直线l分别与x轴、y轴正方向交于点A、B，试确定A，B的位置，使△AOB的面积最小，并求出最小值．
解：(1)过点P作x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于点M、N.

||＝1，||＝||＝1，∠ONP＝120°，
所以||＝
＝.
(2)设||＝x，||＝y.
＝m＋n(m＋n＝1)，
则＝m＋n＝mxe1＋nye2.
得⇒＋＝1.
S△AOB＝||||sin 60°＝xysin 60°＝xy.
因为＋＝1≥，
所以≥2，S△AOB＝xy≥，
当且仅当x＝y＝2，即当A(2，0)，B(0，2)时，△AOB面积最小，最小值为.