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2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第5章3第3讲 平面向量的数量积及应用举例
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第3讲 平面向量的数量积及应用举例
1．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos__θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos__θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos__θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积
2.向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角
设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是 0°≤θ≤180°
若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( )
(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
(5)两个向量的夹角的范围是.( )
(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC＝＝＝，则∠ABC＝30°.
已知a，b是平面向量．如果|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝2，那么|a－b|＝( )
A. B．7
C．5 D.
解析：选A.由|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2a·b＋16＝4，得2a·b＝－21，所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝9＋21＋16＝46，所以|a－b|＝.
(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________．
解析：因为a＋b＝(m－1，3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.
答案：7
已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．
解析：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)
＝3e－2e1·e2－8e
＝3－2×1×1×cos －8＝－6.
答案：－6
平面向量数量积的运算
[典例引领]
(1)(2018·豫南九校联考)已知向量a＝(m，2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则等于( )
A．－ B．1
C．2 D.
(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
【解析】 (1)因为a⊥b，所以2m－2＝0，所以m＝1，则2a－b＝(0，5)，a＋b＝(3，1)，所以a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a－b|＝5，所以＝＝1.
(2)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－)2－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－，选择B.
【答案】 (1)B (2)B
在本例(2)的条件下，若D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于________．
解析：法一：(通性通法)
因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BD＝DE＝CE＝，在△ABD中，AD2＝BD2＋AB2－2BD·AB·cos 60°＝＋22－2××2×＝，即AD＝，同理可得AE＝，在△ADE中，由余弦定理得cos∠DAE＝＝＝，所以·＝||·||cos∠DAE＝××＝.
法二：(光速解法)
如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得
A，D，E，
所以＝，＝，
所以·＝·＝.
答案：
(1)向量数量积的两种运算方法
①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)数量积在平面几何中的应用
解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解．
[通关练习]
1．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D.a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.
2．(2018·云南省第一次统一检测)在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝( )
A．48 B．36
C．24 D．12
解析：选C.法一：·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24.
法二：(特例图形)，若▱ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，
则N(4，6)，M(8，4)．
所以＝(8，4)，＝(4，－2)
所以·＝(8，4)·(4，－2)＝32－8＝24.
3．(2017·高考北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则·的最大值为________．
解析：法一：由题意知，＝(2，0)，令P(cos α，sin α)，则＝(cos α＋2，sin α)，·＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故·的最大值为6.
法二：由题意知，＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则·＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故·的最大值为6.
答案：6
平面向量的夹角与模(高频考点)
平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，属中档题．高考对平面向量的夹角与模的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求两向量的夹角；
(2)求向量的模；
(3)两向量垂直问题．
[典例引领]
角度一 求两向量的夹角
(2018·成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是( )
A. B.
C. D.
【解析】 因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos ＝3，所以|a＋2b|＝，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos ＋2×＝＋＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为.
【答案】 A
角度二 求向量的模
在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
【解析】 设AB的长为a(a>0)，又因为＝＋，＝＋＝－，于是·＝(＋)·＝·－2＋2＝－a2＋a＋1，由已知可得－a2＋a＋1＝1.又a>0，
所以a＝，即AB的长为.
【答案】
角度三 两向量垂直问题
已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
【解析】 因为⊥，所以·＝0.
又＝λ＋，＝－，
所以(λ＋)·(－)＝0，
即(λ－1)·－λ2＋2＝0，
所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×(－)－9λ＋4＝0.解得λ＝.
【答案】
(1)求平面向量的夹角的方法
①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝；
(2)求向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算．
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
[通关练习]
1．(2018·河南百校联盟联考)已知非零向量a，b满足：2a·(2a－b)＝b·(b－2a)，|a－b|＝3|a|，则a与b的夹角为________．
解析：由2a·(2a－b)＝b·(b－2a)得4a2＝b2，由|a－b|＝3|a|得a2－2a·b＋2b2＝9a2，则a·b＝0，即a⊥b，所以a与b的夹角为90°.
答案：90°
2．(2017·高考山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________
解析：因为＝，
故＝，解得λ＝.
答案：
3．(2018·东北四市高考模拟)已知向量＝(3，1)，＝(－1，3)，＝m－n(m>0，n>0)，若m＋n＝1，则||的最小值为________．
解析：由＝(3，1)，＝(－1，3)得＝m－n＝(3m＋n，m－3n)，因为m＋n＝1(m>0，n>0)，所以n＝1－m且0
向量数量积的综合应用
[典例引领]
(2017·高考江苏卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
【解】 (1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cos x≠0.
于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.
平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
[通关练习]
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝，且2m·n＋|m|＝，则∠A＝________．
解析：因为2m·n＝2sin cos －2cos2 ＝sin A－(cos A＋1)＝sin －1，
又|m|＝1，
所以2m·n＋|m|＝sin＝，
即sin＝.
因为0
答案：
2．(2018·山东模拟)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos2 －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．
解：(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得
sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，
sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，
所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，所以2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos ∠ACB，所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，所以S△ABC＝absin ∠ACB＝2.
求向量模的常用方法
利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．
利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．
两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之也不成立．
易错防范
(1)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
(2)a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立．
1．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为( )
A．－7 B．－3
C．2 D．3
解析：选D.依题意得a·b＝2×1×cos ＝－1，(a＋λb)·(2a－b)＝0，即2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0，－3λ＋9＝0，λ＝3.
2．(2018·山西四校联考)向量a，b满足|a＋b|＝2|a|，且(a－b)·a＝0，则a，b的夹角的余弦值为( )
A．0 B.
C. D.
解析：选B.(a－b)·a＝0⇒a2＝b·a，|a＋b|＝2|a|⇒a2＋b2＋2a·b＝12a2⇒b2＝9a2，所以cos〈a，b〉＝＝＝.故选B.
3．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知向量a＝(1，0)，|b|＝，a与b的夹角为45°，若c＝a＋b，d＝a－b，则c在d方向上的投影为( )
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选D.依题意得|a|＝1，a·b＝1××cos 45°＝1，|d|＝＝＝1，c·d＝a2－b2＝－1，因此c在d方向上的投影等于＝－1，选D.
4．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，
所以2·＝0，所以⊥.
所以∠A＝90°，又因为根据条件不能得到||＝||.故选C.
5．(2018·福建漳州八校联考)在△ABC中，|＋|＝|－|，||＝||＝3，则·的值为( )
A．3 B．－3
C．－ D.
解析：选D.由|＋|＝|－|两边平方可得，2＋2＋2·＝3(2＋2－2·)，即2＋2＝4·，又||＝||＝3，所以·＝，又因为＝－，所以·＝(－)·(－)＝2－·＝9－＝，故选D.
6．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2 b|＝ ________ .
解析：易知|a＋2b|＝
＝＝2.
答案：2
7．(2018·江西七校联考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，则向量a与b的夹角为________．
解析：因为b在a上的投影为－3，
所以|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝＝2，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，又a·b＝1×3＋m，所以3＋m＝－6，解得m＝－3，则b＝(3，－3)，所以|b|＝＝6，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为π.
答案：π
8．(2017·高考天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.又·＝3×2×＝3，所以·＝·(－＋λ)
＝－2＋·＋λ2
＝－3＋3＋λ×4＝λ－5＝－4，则λ＝.
答案：
9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，
解得x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝＝5.
(2)a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，
故x＝－3，
所以b＝(1，－3)，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b夹角是.
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6.所以cos θ＝＝＝－.
又因为0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，
所以∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝||||sin ∠ABC＝×4×3×＝3.
1．已知点G为△ABC的重心，∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设BC的中点为M，则＝.
又M为BC中点，
所以＝(＋)，
所以＝＝(＋)，
所以||＝ .
又因为·＝－2，∠A＝120°，
所以||||＝4.
所以||＝
≥ ＝，
当且仅当||＝||时取“＝”，
所以||的最小值为，故选C.
2．(2018·广东七校联考)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．设M(a，2－a)，N(a＋1，1－a)(由题意可知0
解析：因为非零向量a与b的夹角是，
且|a|＝|a＋b|，
所以|a|2＝|a＋b|2
＝|a|2＋|b2|＋2|a|·|b|cos ，
所以|b|2－|a||b|＝0，所以|b|＝|a|，所以＝
＝＝t2－2t＋＝(t－1)2＋，
所以当t＝1时，取最小值＝.
答案：
4．(2018·昆明质检)定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝(a，b是任意的两个向量)．
对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：
①a⊗b＝b⊗a；
②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)；
③(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c；
④若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1.
以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
解析：当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故①是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故②是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a⊗e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④.
答案：①④
5．(2018·安康模拟)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，2)、B(4，1)、C(－6，9)．
(1)若AD是BC边上的高，求向量的坐标；
(2)若点E在x轴上，使△BCE为钝角三角形，且∠BEC为钝角，求点E横坐标的取值范围．
解：(1)设D(x，y)，则＝(x，y－2)，
＝(x－4，y－1)，
由题意知AD⊥BC，则·＝0，
即－10x＋8(y－2)＝0，即5x－4y＋8＝0，①
由∥，得8(x－4)＝－10(y－1)，
即4x＋5y－21＝0，②
联立①②解得x＝，y＝，
则＝.
(2)设E(a，0)，则＝(4－a，1)，＝(－6－a，9)，
由∠BEC为钝角，得(4－a)·(－6－a)＋9＜0，解得－5＜a＜3，
由与不能共线，得9(4－a)≠－6－a，解得a≠.
故点E的横坐标的取值范围为(－5，3)．
6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
解：(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝－t＋t2＋
＝t2－t＋1＝＋，
所以当t＝时，|＋|最小，为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，
所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1.
所以m·n的最小值为1－，此时θ＝.
1．平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos__θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos__θ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|cos__θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积
2.向量的夹角
定义
图示
范围
共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角
设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是 0°≤θ≤180°
若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直
3.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
4．平面向量数量积的坐标运算及有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，a·b＝x1x2＋y1y2.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( )
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( )
(4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
(5)两个向量的夹角的范围是.( )
(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
(2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC＝＝＝，则∠ABC＝30°.
已知a，b是平面向量．如果|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝2，那么|a－b|＝( )
A. B．7
C．5 D.
解析：选A.由|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2a·b＋16＝4，得2a·b＝－21，所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝9＋21＋16＝46，所以|a－b|＝.
(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________．
解析：因为a＋b＝(m－1，3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.
答案：7
已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________．
解析：b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)
＝3e－2e1·e2－8e
＝3－2×1×1×cos －8＝－6.
答案：－6
平面向量数量积的运算
[典例引领]
(1)(2018·豫南九校联考)已知向量a＝(m，2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则等于( )
A．－ B．1
C．2 D.
(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
【解析】 (1)因为a⊥b，所以2m－2＝0，所以m＝1，则2a－b＝(0，5)，a＋b＝(3，1)，所以a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a－b|＝5，所以＝＝1.
(2)如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－)2－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，为－，选择B.
【答案】 (1)B (2)B
在本例(2)的条件下，若D，E是边BC的两个三等分点(D靠近点B)，则·等于________．
解析：法一：(通性通法)
因为D，E是边BC的两个三等分点，所以BD＝DE＝CE＝，在△ABD中，AD2＝BD2＋AB2－2BD·AB·cos 60°＝＋22－2××2×＝，即AD＝，同理可得AE＝，在△ADE中，由余弦定理得cos∠DAE＝＝＝，所以·＝||·||cos∠DAE＝××＝.
法二：(光速解法)
如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得
A，D，E，
所以＝，＝，
所以·＝·＝.
答案：
(1)向量数量积的两种运算方法
①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)数量积在平面几何中的应用
解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解．
[通关练习]
1．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D.a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.
2．(2018·云南省第一次统一检测)在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝( )
A．48 B．36
C．24 D．12
解析：选C.法一：·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24.
法二：(特例图形)，若▱ABCD为矩形，建立如图所示坐标系，
则N(4，6)，M(8，4)．
所以＝(8，4)，＝(4，－2)
所以·＝(8，4)·(4，－2)＝32－8＝24.
3．(2017·高考北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则·的最大值为________．
解析：法一：由题意知，＝(2，0)，令P(cos α，sin α)，则＝(cos α＋2，sin α)，·＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故·的最大值为6.
法二：由题意知，＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则·＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故·的最大值为6.
答案：6
平面向量的夹角与模(高频考点)
平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，属中档题．高考对平面向量的夹角与模的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求两向量的夹角；
(2)求向量的模；
(3)两向量垂直问题．
[典例引领]
角度一 求两向量的夹角
(2018·成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是( )
A. B.
C. D.
【解析】 因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos ＝3，所以|a＋2b|＝，又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos ＋2×＝＋＝，所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝，所以a＋2b与b的夹角为.
【答案】 A
角度二 求向量的模
在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
【解析】 设AB的长为a(a>0)，又因为＝＋，＝＋＝－，于是·＝(＋)·＝·－2＋2＝－a2＋a＋1，由已知可得－a2＋a＋1＝1.又a>0，
所以a＝，即AB的长为.
【答案】
角度三 两向量垂直问题
已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
【解析】 因为⊥，所以·＝0.
又＝λ＋，＝－，
所以(λ＋)·(－)＝0，
即(λ－1)·－λ2＋2＝0，
所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0.
所以(λ－1)×3×2×(－)－9λ＋4＝0.解得λ＝.
【答案】
(1)求平面向量的夹角的方法
①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系；
②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝；
(2)求向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算．
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
[通关练习]
1．(2018·河南百校联盟联考)已知非零向量a，b满足：2a·(2a－b)＝b·(b－2a)，|a－b|＝3|a|，则a与b的夹角为________．
解析：由2a·(2a－b)＝b·(b－2a)得4a2＝b2，由|a－b|＝3|a|得a2－2a·b＋2b2＝9a2，则a·b＝0，即a⊥b，所以a与b的夹角为90°.
答案：90°
2．(2017·高考山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________
解析：因为＝，
故＝，解得λ＝.
答案：
3．(2018·东北四市高考模拟)已知向量＝(3，1)，＝(－1，3)，＝m－n(m>0，n>0)，若m＋n＝1，则||的最小值为________．
解析：由＝(3，1)，＝(－1，3)得＝m－n＝(3m＋n，m－3n)，因为m＋n＝1(m>0，n>0)，所以n＝1－m且0
向量数量积的综合应用
[典例引领]
(2017·高考江苏卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
【解】 (1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，
所以－cos x＝3sin x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cos x≠0.
于是tan x＝－.
又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos.
因为x∈[0，π]，所以x＋∈，
从而－1≤cos≤.
于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3；
当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2.
平面向量与三角函数的综合问题
(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
[通关练习]
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝，且2m·n＋|m|＝，则∠A＝________．
解析：因为2m·n＝2sin cos －2cos2 ＝sin A－(cos A＋1)＝sin －1，
又|m|＝1，
所以2m·n＋|m|＝sin＝，
即sin＝.
因为0
答案：
2．(2018·山东模拟)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos B，2cos2 －1)，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．
解：(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，在△ABC中，由正弦定理得
sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，
sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，
所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，所以2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos ∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos ∠ACB，所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，所以S△ABC＝absin ∠ACB＝2.
求向量模的常用方法
利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．
利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．
两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b<0，反之也不成立．
易错防范
(1)a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.
(2)a·b＝a·c(a≠0)不能推出b＝c，即消去律不成立．
1．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为( )
A．－7 B．－3
C．2 D．3
解析：选D.依题意得a·b＝2×1×cos ＝－1，(a＋λb)·(2a－b)＝0，即2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0，－3λ＋9＝0，λ＝3.
2．(2018·山西四校联考)向量a，b满足|a＋b|＝2|a|，且(a－b)·a＝0，则a，b的夹角的余弦值为( )
A．0 B.
C. D.
解析：选B.(a－b)·a＝0⇒a2＝b·a，|a＋b|＝2|a|⇒a2＋b2＋2a·b＝12a2⇒b2＝9a2，所以cos〈a，b〉＝＝＝.故选B.
3．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知向量a＝(1，0)，|b|＝，a与b的夹角为45°，若c＝a＋b，d＝a－b，则c在d方向上的投影为( )
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选D.依题意得|a|＝1，a·b＝1××cos 45°＝1，|d|＝＝＝1，c·d＝a2－b2＝－1，因此c在d方向上的投影等于＝－1，选D.
4．在△ABC中，(＋)·＝||2，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.由(＋)·＝||2，得·(＋－)＝0，即·(＋＋)＝0，
所以2·＝0，所以⊥.
所以∠A＝90°，又因为根据条件不能得到||＝||.故选C.
5．(2018·福建漳州八校联考)在△ABC中，|＋|＝|－|，||＝||＝3，则·的值为( )
A．3 B．－3
C．－ D.
解析：选D.由|＋|＝|－|两边平方可得，2＋2＋2·＝3(2＋2－2·)，即2＋2＝4·，又||＝||＝3，所以·＝，又因为＝－，所以·＝(－)·(－)＝2－·＝9－＝，故选D.
6．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2 b|＝ ________ .
解析：易知|a＋2b|＝
＝＝2.
答案：2
7．(2018·江西七校联考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，且b在a上的投影为－3，则向量a与b的夹角为________．
解析：因为b在a上的投影为－3，
所以|b|cos〈a，b〉＝－3，又|a|＝＝2，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－6，又a·b＝1×3＋m，所以3＋m＝－6，解得m＝－3，则b＝(3，－3)，所以|b|＝＝6，所以cos〈a，b〉＝＝＝－，因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为π.
答案：π
8．(2017·高考天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.又·＝3×2×＝3，所以·＝·(－＋λ)
＝－2＋·＋λ2
＝－3＋3＋λ×4＝λ－5＝－4，则λ＝.
答案：
9．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
解：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，可得6＋1－x＝0，
解得x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝＝5.
(2)a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，
故x＝－3，
所以b＝(1，－3)，
所以cos〈a，b〉＝＝＝，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以a与b夹角是.
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．
解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，所以64－4a·b－27＝61，
所以a·b＝－6.所以cos θ＝＝＝－.
又因为0≤θ≤π，所以θ＝.
(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2
＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a＋b|＝.
(3)因为与的夹角θ＝，
所以∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
所以S△ABC＝||||sin ∠ABC＝×4×3×＝3.
1．已知点G为△ABC的重心，∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.设BC的中点为M，则＝.
又M为BC中点，
所以＝(＋)，
所以＝＝(＋)，
所以||＝ .
又因为·＝－2，∠A＝120°，
所以||||＝4.
所以||＝
≥ ＝，
当且仅当||＝||时取“＝”，
所以||的最小值为，故选C.
2．(2018·广东七校联考)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足||＝，则·的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选C.不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则B(0，0)，A(0，2)，C(2，0)，线段AC的方程为x＋y－2＝0(0≤x≤2)．设M(a，2－a)，N(a＋1，1－a)(由题意可知0
解析：因为非零向量a与b的夹角是，
且|a|＝|a＋b|，
所以|a|2＝|a＋b|2
＝|a|2＋|b2|＋2|a|·|b|cos ，
所以|b|2－|a||b|＝0，所以|b|＝|a|，所以＝
＝＝t2－2t＋＝(t－1)2＋，
所以当t＝1时，取最小值＝.
答案：
4．(2018·昆明质检)定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝(a，b是任意的两个向量)．
对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：
①a⊗b＝b⊗a；
②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)；
③(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c；
④若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1.
以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
解析：当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故①是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故②是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a⊗e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④.
答案：①④
5．(2018·安康模拟)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，2)、B(4，1)、C(－6，9)．
(1)若AD是BC边上的高，求向量的坐标；
(2)若点E在x轴上，使△BCE为钝角三角形，且∠BEC为钝角，求点E横坐标的取值范围．
解：(1)设D(x，y)，则＝(x，y－2)，
＝(x－4，y－1)，
由题意知AD⊥BC，则·＝0，
即－10x＋8(y－2)＝0，即5x－4y＋8＝0，①
由∥，得8(x－4)＝－10(y－1)，
即4x＋5y－21＝0，②
联立①②解得x＝，y＝，
则＝.
(2)设E(a，0)，则＝(4－a，1)，＝(－6－a，9)，
由∠BEC为钝角，得(4－a)·(－6－a)＋9＜0，解得－5＜a＜3，
由与不能共线，得9(4－a)≠－6－a，解得a≠.
故点E的横坐标的取值范围为(－5，3)．
6.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐标原点．
(1)若θ＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值；
(2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值．
解：(1)设D(t，0)(0≤t≤1)，
由题意知C，
所以＋＝，
所以|＋|2＝－t＋t2＋
＝t2－t＋1＝＋，
所以当t＝时，|＋|最小，为.
(2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)，
则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin，
因为θ∈，
所以≤2θ＋≤，
所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin取得最大值1.
所以m·n的最小值为1－，此时θ＝.
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