2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第6章2第2讲　等差数列及其前n项和

第2讲　等差数列及其前n项和

1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝．
3．等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．
(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．
(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
4．等差数列的增减性与最值
公差d>0时为递增数列，且当a1<0时，前n项和Sn有最小值；公差d<0时为递减数列，且当a1>0时，前n项和Sn有最大值．
5．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，那么an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，(n，an)在一次函数y＝px＋q的图象上，即公差不为零的等差数列的图象是直线y＝px＋q上的均匀排开的一群孤立的点．当p＝0时，an＝q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)
(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×
(2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C.设等差数列{an}的公差为d，
所以所以d＝4，故选C.
(教材习题改编)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)
A．5 B．7
C．9 D．11
解析：选A.法一：因为a1＋a5＝2a3，所以a1＋a3＋a5＝3a3＝3，所以a3＝1，所以S5＝＝5a3＝5，故选A.
法二：因为a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，
所以a1＋2d＝1，
所以S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.
(教材习题改编)在等差数列11，8，5，…中，－49是它的第________项．
解析：a1＝11，d＝8－11＝－3，
所以an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14.
由－3n＋14＝－49，得n＝21.
答案：21
已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．
解析：由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.
答案：27


　　　　　　等差数列的基本运算(高频考点)
等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题．高考对等差数列的基本运算的考查常有以下三个命题角度：
(1)求公差d、项数n或首项a1；
(2)求通项或特定项；
(3)求前n项和．
[典例引领]
角度一　求公差d、项数n或首项a1
(2018·洛阳市第一次统一考试)等差数列{an}为递增数列，若a＋a＝101，a5＋a6＝11，则数列{an}的公差d等于(　　)
A．1　 B．2
C．9 D．10
【解析】　依题意得(a1＋a10)2－2a1a10＝(a5＋a6)2－2a1a10＝121－2a1a10＝101，所以a1a10＝10，又a1＋a10＝a5＋a6＝11，a1 【答案】　A
角度二　求通项或特定项
(方程思想)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足 a1＋a5＝a，S7＝63.求数列{an}的通项公式．
【解】　法一：设正项等差数列{an}的公差为d，
则由题意得
即
又因为an＞0，所以a3＝a1＋2d＞0，
所以
所以
所以an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1(n∈N*)．
法二：设正项等差数列{an}的公差为d.
因为{an}是等差数列，且a1＋a5＝a，
所以2a3＝a，又an＞0，所以a3＝7.
因为S7＝＝7a4＝63，所以a4＝9.
所以d＝a4－a3＝2，
所以an＝a3＋(n－3)d＝2n＋1(n∈N*)．
角度三　求前n项和
设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________．
【解析】　法一：设等差数列{an}的公差为d，
由已知，得解得
所以S16＝16×3＋×(－1)＝－72.
法二：由S9＝9a5＝－9，
所以a5＝－1，S16＝＝8(a5＋a12)＝－72.
【答案】　－72

等差数列基本运算的方法策略
(1)等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可知三求二．解决这类问题一般设基本量a1，d，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．
(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式Sn＝结合使用，体现整体代入的思想．　
[通关练习]
1．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)
A．－24 B．－3
C．3 D．8
解析：选A.设等差数列{an}的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6＝a，即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，又a1＝1，所以d2＋2d＝0，又d≠0，则d＝－2，所以a6＝a1＋5d＝－9，所以{an}前6项的和S6＝×6＝－24.
2．在等差数列{an}中，a4＝2，且a1＋a2＋…＋a10＝65，则公差d的值是(　　)
A．4 B．3
C．1 D．2
解析：选B.因为在等差数列{an}中，a4＝2，且a1＋a2＋…＋a10＝65，
所以
解得a1＝－7，d＝3.
所以公差d的值是3.
3．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3，Sk＝－35，则k＝________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，
则an＝a1＋(n－1)d，
由于a1＝1，a3＝－3，又a3＝a1＋2d，
所以d＝－2，因此an＝3－2n.
得Sn＝n＝2n－n2，
所以Sk＝2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，
解得k＝7或k＝－5，又因为k∈N*，所以k＝7.
答案：7

　　　　　　等差数列的判定与证明
[典例引领]
(2018·贵州省适应性考试)已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
【解】　(1)由已知，得a2－2a1＝4，
则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，
得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，
得＝2，即－＝2，
所以数列是首项＝1，公差d＝2的等差数列．
则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.

判定数列{an}是等差数列的常用方法
(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一个常数．
(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.
(3)通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数．
(4)前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.
[提醒]　判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．　
[通关练习]
1．(2018·云南省11校跨区调研)在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝(　　)
A. B．1
C. D.
解析：选A.依题意得＝＝＋，－＝，数列是以＝为首项、为公差的等差数列，则＝＋＝，an＝，a4＝，选A.
2．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1.数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列为等差数列，并求{bn}的通项公式．
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1.
因为a1＝1适合通项公式an＝2n－1，
所以an＝2n－1.
(2)因为bn＋1－2bn＝8an，
所以bn＋1－2bn＝2n＋2，即－＝2.
又＝1，
所以是首项为1，公差为2的等差数列．
所以＝1＋2(n－1)＝2n－1.
所以bn＝(2n－1)×2n.

　　　　　　等差数列的性质及应用(高频考点)
等差数列的性质是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、低档题．高考对等差数列的性质的考查常有以下三个命题角度：
(1)等差数列项的性质的应用；
(2)等差数列前n项和的性质的应用；
(3)等差数列前n项和的最值．
[典例引领]
角度一　等差数列项的性质的应用
(1)(2018·太原市模拟试题)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则S11＝(　　)
A．66 B．55
C．44 D．33
(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.
【解】　(1)选D.法一：设等差数列{an}的公差为d，因为2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，所以12a1＋60d＝36，即a1＋5d＝3，
所以a6＝3，所以S11＝＝＝11a6＝33，故选D.
法二：因为a1＋a5＝2a3，a8＋a10＝2a9，
所以2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝6a3＋6a9＝36，
所以a3＋a9＝6，
所以S11＝＝＝33，故选D.
(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.
由已知条件，得
解得
又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5.
角度二　等差数列前n项和的性质的应用
等差数列{an}的前m项和为30，前3m项和为90，则它的前2m项和为________．
【解析】　由Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，
可得2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，
即S2m＝＝＝60.
【答案】　60
角度三　等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，已知a1＝10，前n项和为Sn，若S9＝S12，则Sn取得最大值时，n＝________，Sn的最大值为________．
【解析】　法一：因为a1＝10，S9＝S12，
所以9×10＋d＝12×10＋d，
所以d＝－1.
所以an＝－n＋11.
所以a11＝0，即当n≤10时，an＞0，
当n≥12时，an＜0，
所以当n＝10或11时，Sn取得最大值，且最大值为
S10＝S11＝10×10＋×(－1)＝55.
法二：同法一求得d＝－1.
所以Sn＝10n＋·(－1)＝－n2＋n
＝－＋.
因为n∈N*，所以当n＝10或11时，Sn有最大值，且最大值为S10＝S11＝55.
法三：同法一求得d＝－1.
又由S9＝S12得a10＋a11＋a12＝0.
所以3a11＝0，即a11＝0.
所以当n＝10或11时，Sn有最大值．
且最大值为S10＝S11＝55.
【答案】　10或11　55

(1)等差数列和的性质
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)．
②S2n－1＝(2n－1)an.
③当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．
(2)求等差数列前n项和Sn最值的两种方法
①函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解．
②邻项变号法：
〈1〉当a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
〈2〉当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.　
[通关练习]
1．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)
A．100 B．99
C．98 D．97
解析：选C.设等差数列{an}的公差为d，因为{an}为等差数列，且S9＝9a5＝27，所以a5＝3.又a10＝8，解得5d＝a10－a5＝5，所以d＝1，所以a100＝a5＋95d＝98，选C.
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D.
解析：选A.＝＝＝×＝1.
3．(2018·湖南省湘中名校高三联考)若{an}是等差数列，首项a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·
a2 017<0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是(　　)
A．2 016 B．2 017
C．4 032 D．4 033
解析：选C.因为a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，所以d<0，a2 016>0，a2 017<0，所以S4 032＝＝>0，S4 033＝＝
4 033a2 017<0，所以使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是4 032.

等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d可变形为an＝dn＋(a1－d)．
若d＝0，则an＝a1，其是常数函数；
若d≠0，则an是关于n的一次函数．
(n，an)是直线y＝dx＋(a1－d)上一群孤立的点．
单调性：d>0时，{an}为单调递增数列；d<0时，{an}为单调递减数列．
等差数列{an}的前n项和Sn可表示为Sn＝n2＋n，令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn.
当A≠0，即d≠0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题．
易错防范
(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则a5＝(　　)
A．11 B．10
C．7 D．3
解析：选B.设数列{an}的公差为d，则有解得所以a5＝－2＋4×3＝10.
2．(2018·兰州市诊断考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝(　　)
A．36 B．72
C．144 D．288
解析：选B.法一：因为a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2，所以d＝，所以S9＝9×2＋×＝72.
法二：因为a8＋a10＝2a9＝28，所以a9＝14，所以S9＝＝72.
3．已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，若ak·ak＋1<0，则正整数k＝(　　)
A．21 B．22
C．23 D．24
解析：选C.3an＋1＝3an－2⇒an＋1＝an－⇒{an}是等差数列，则an＝－n.因为ak·ak＋1<0，所以<0，所以 4．(2018·湖南衡阳八中、长郡中学等十三校模拟)等差数列{an}的公差d≠0，且a3，a5，a15成等比数列，若a5＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则数列的前n项和取最小值时的n为(　　)
A．3 B．3或4
C．4或5 D．5
解析：选B.由题意知
由d≠0，解得a1＝－3，d＝2，
所以＝＝－3＋n－1＝n－4，
由n－4≥0，得n≥4，
所以数列的前n项和取最小值时的n为3或4.故选B.
5．(2018·衡水中学二调)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？(　　)
A．12日 B．16日
C．8日 D．9日
解析：选D.由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为an＝103＋13(n－1)＝13n＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为bn＝97－(n－1)＝－n＋，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以＋＝2 250，即＋＝2 250，化简得n2＋31n－360＝0，解得n＝9或n＝－40(舍去)，故选D.
6．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a3＋a9＝a10－a8.若an＝0，则n＝________．
解析：因为a3＋a9＝a10－a8，
所以a1＋2d＋a1＋8d＝a1＋9d－(a1＋7d)，
解得a1＝－4d，
所以an＝－4d＋(n－1)d＝(n－5)d，
令(n－5)d＝0(d≠0)，可解得n＝5.
答案：5
7．(2018·重庆适应性测试(二))设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________．
解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.
答案：200
8．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
解析：由题意，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，说明
所以所以－1＜d＜－.
答案：
9．已知数列{an}满足：a3＝－13，an＝an－1＋4(n＞1，n∈N*)．
(1)求a1，a2及通项公式an；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，则数列S1，S2，S3，…中哪一项最小？
解：(1)因为数列{an}满足a3＝－13，an＝an－1＋4，
所以an－an－1＝4，
即数列{an}为等差数列且公差为d＝4，
所以a2＝a3－d＝－13－4＝－17，
a1＝a2－d＝－17－4＝－21，
所以通项公式an＝a1＋(n－1)d＝－21＋4(n－1)＝4n－25.
(2)令an＝4n－25≥0可解得n≥，
所以数列{an}的前6项为负值，从第7项开始为正数，
所以数列S1，S2，S3，…中S6最小．
10．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．
(1)求d，an；
(2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.
解：(1)由题意得，a1·5a3＝(2a2＋2)2，由a1＝10，{an}为公差为d的等差数列得，d2－3d－4＝0，
解得d＝－1或d＝4.
所以an＝－n＋11(n∈N*)或an＝4n＋6(n∈N*)．
(2)设数列{an}的前n项和为Sn.
因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，
所以当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝
－n2＋n；
当n≥12时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.
综上所述，
|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|
＝

1．(2018·安徽省两校阶段性测试)已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn＝.若对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－8，－7) B．[－8，－7)
C．(－8，－7] D．[－8，－7]
解析：选A.因为{an}是首项为a，公差为1的等差数列，所以an＝n＋a－1，因为bn＝，又对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，所以1＋≥1＋，即≥对任意的n∈N*恒成立，因为数列{an}是公差为1的等差数列，所以{an}是单调递增的数列，所以，即，解得－8 2．(2018·石家庄市第一次模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{an}的前100项的和为(　　)
A．－200 B．－100
C．－50 D．0
解析：选B.因为函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝＝50(a50＋a51)＝－100，故选B.
3．(2018·兰州市诊断考试)已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有＝1成立，则S2 017＝________．
解析：当n≥2时，由＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)Sn－S＝－SnSn－1，所以－＝1，又＝2，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝n＋1，故Sn＝，则S2 017＝.
答案：
4．(2018·安徽省淮南模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“精致数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“精致数列”，则数列{bn}的通项公式为________．
解析：设等差数列{bn}的公差为d，由为常数，设＝k且b1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因为对任意正整数n，上式恒成立，所以解得d＝2，k＝，所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1(n∈N*)．
答案：bn＝2n－1(n∈N*)
5．已知{an}是公差为d的等差数列，它的前n项和为Sn，S4＝2S2＋4，数列{bn}中，bn＝.
(1)求公差d的值；
(2)若a1＝－，求数列{bn}中的最大项和最小项的值．
解：(1)因为S4＝2S2＋4，所以4a1＋d＝2(2a1＋d)＋4，解得d＝1.
(2)因为a1＝－，
所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)＝n－，
所以bn＝1＋＝1＋.
因为函数f(x)＝1＋在和上分别是单调减函数，
所以b3 所以数列{bn}中的最大项的值是b4＝3，最小项的值是b3＝－1.
6．(2018·洛阳市第一次统一考试)已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)．
(1)求a2的值并证明：an＋2－an＝2；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)令n＝1得2a1a2＝4S1－3，
又a1＝1，所以a2＝.
2anan＋1＝4Sn－3，①
2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.②
②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1.
因为an≠0，所以an＋2－an＝2.
(2)由(1)可知：
数列a1，a3，a5，…，a2k－1，…为等差数列，公差为2，首项为1，
所以a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，
即n为奇数时，an＝n.
数列a2，a4，a6，…，a2k，…为等差数列，公差为2，首项为，
所以a2k＝＋2(k－1)＝2k－，
即n为偶数时，an＝n－.
综上所述，an＝.