2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第7章1第1讲　不等关系与不等式




知识点
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不等关系与不等式
了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.
一元二次不等式的解法
会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
二元一次不等式(组)与
简单的线性规划问题
会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.
会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
基本不等式
≥(a≥0，b≥0)
了解基本不等式的证明过程.
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
第1讲　不等关系与不等式


1．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a 2．不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，
a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．
3．不等式的一些常用性质
(1)有关倒数的性质
①a>b，ab>0⇒<.
②a<0 ③a>b>0，0.
④0 (2)有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则
①<；>(b－m>0)．
②>；<(b－m>0)．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a (2)若>1，则a>b.(　　)
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　)
(5)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　)
(6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
(教材习题改编)设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为(　　)
A．A≥B B．A＞B
C．A≤B D．A＜B
解析：选B.A－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，所以A＞B.故选B.
已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.⇒又当ab>0时，a与b同号，由a＋b>0知a>0，且b>0.
________＋1(填“>”或“<”)．
解析：＝＋1<＋1.
答案：<
下列不等式中恒成立的是__________．
①m－3＞m－5；②5－m＞3－m；③5m＞3m；④5＋m＞5－m.
解析：m－3－m＋5＝2＞0，故①恒成立；
5－m－3＋m＝2＞0，故②恒成立；
5m－3m＝2m，无法判断其符号，故③不恒成立；
5＋m－5＋m＝2m，无法判断其符号，故④不恒成立．
答案：①②


　　　　　　比较两个数(式)的大小
[典例引领]
(1)已知a>b>0，m>0，则(　　)
A.＝
B.>
C.<
D.与的大小关系不确定
(2)若a＝，b＝，比较a与b的大小．
【解】　(1)选C.－＝＝.
因为a>b>0，m>0.
所以b－a<0，a＋m>0，所以<0.
即－<0.所以<.
(2)因为a＝＞0，b＝＞0，
所以＝·
＝＝＝log8 9＞1，
所以a＞b.

若本例(1)的条件不变，试比较与的大小．
解：－＝＝.
因为a>b>0，m>0.
所以a－b>0，m(a－b)>0.
(1)当a>m时，a(a－m)>0，
所以>0，
即－>0，
故>.
(2)当a 所以<0，
即－<0，故<.

比较大小常用的方法

[提醒]　用作差法比较大小的关键是对差进行变形，常用的变形有通分、因式分解、配方等．　
[通关练习]
1．设m＝(x＋2)(x＋3)，n＝2x2＋5x＋9，则m与n的大小关系为(　　)
A．m>n B．m C．m≥n D．m≤n
解析：选B.m－n＝x2＋5x＋6－(2x2＋5x＋9)
＝－x2－3<0，
所以m 2．比较＋与a＋b(a>0，b>0)两个代数式的大小．
解：因为＋－(a＋b)＝
＝＝
＝.
又因为a>0，b>0，所以≥0，
故＋≥a＋b.

　　　　　　不等式的性质及应用(高频考点)
不等式的性质是高考的常考内容，题型多为选择题，难度为中档题．
高考对不等式性质的考查主要有以下两个命题角度：
(1)应用性质判断命题真假；
(2)应用性质求代数式的范围．
[典例引领]
角度一　应用性质判断命题真假
(1)(特值法)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
(2)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b>0时，由a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.
综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.
(2)因为a＞0＞b，c＜d＜0，
所以ad＜0，bc＞0，
所以ad＜bc，故①错误．
因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，
因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，
所以a(－c)＞(－b)(－d)，
所以ac＋bd＜0，所以＋＝＜0，故②正确．
因为c＜d，所以－c＞－d，
因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，
即a－c＞b－d，故③正确．
因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，
故④正确，故选C.
【答案】　(1)C　(2)C
角度二　应用性质求代数式的范围
(整体思想)已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．
【解】　因为f(x)过原点，所以设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．
由
得
所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又
所以6≤3f(－1)＋f(1)≤10，
即f(－2)的取值范围是[6，10]．

(1)判断不等式命题真假的方法
①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或用特值法．常用的推理判断需要利用不等式性质．
②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．
(2)求代数式的取值范围
利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．　
[通关练习]
1．(2018·河南百校联盟模拟)设a，b∈R，则“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.当(a－b)a2≥0时，由a2≥0得a－b≥0，即a≥b，反之也成立，故“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的充要条件．
2．若－1 解析：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，
则解得
又因为－<(a＋b)<，
－2<－(a－b)<－1，
所以－<(a＋b)－(a－b)<.
即－<2a＋3b<.
答案：

真假分数的性质
(1)真分数的分子与分母都加上同一个正数，分数的值变大．
(2)假分数的分子与分母都加上同一个正数，分数的值变小．
判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定限制条件的选择题，用特殊值验证的方法更简单．
易错防范
(1)在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b (2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知a>b，则下列结论正确的是(　　)
A．a2>b2　 B．ac2>bc2
C.> D．a－1>b－2
解析：选D.因为a>b时，a与b的符号不确定，所以A、C不正确；
当c＝0时，B不正确；对于D，a>b⇒a－1>b－1，
又b－1>b－2，所以a－1>b－2正确．
2．若<<0，则下列结论不正确的是(　　)
A．a2 C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|
解析：选D.由题可知b 3．若x2＋y2≤2(x＋y－1)，则x，y满足的条件是(　　)
A．x、y∈R B．x≥1且y≥1
C．x≤1且y≤1 D．x＝1且y＝1
解析：选D.因为x2＋y2－2(x＋y－1)
＝x2－2x＋1＋y2－2y＋1
＝(x－1)2＋(y－1)2≥0，
当且仅当x＝1且y＝1时，取等号，
即x2＋y2≥2(x＋y－1)．
又因为x2＋y2≤2(x＋y－1)，
所以x2＋y2＝2(x＋y－1)．
所以x＝1且y＝1，故选D.
4．(2018·湖北黄冈检测)已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是(　　)
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
解析：选C.因为x>y>z，
所以3x>x＋y＋z＝0，3z 所以x>0，z<0，
由得xy>xz.故选C.
5．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：
①若ac2>bc2，则a>b；
②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；
③若a>b，c>d，则ac>bd；
④若a>b，则>.
其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B.由ac2>bc2知c≠0，c2>0，所以a>b，故①正确；由不等式的同向可加性易知②正确；对于③，当a＝－1，b＝－4，c＝－2，d＝－3时，acb，但>不成立，故④不正确．
6．(2018·扬州模拟)若a1 解析：作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)·(b1－b2)，
因为a1 所以(a1－a2)(b1－b2)>0，
即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1
7．已知a，b∈R，则a＜b和＜同时成立的条件是________．
解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，
即＜；若ab＞0，则＞.
所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.
答案：a＜0＜b
8．若α，β满足则α＋3β的取值范围是________．
解析：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)
＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
则解得
因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，
两式相加，得1≤α＋3β≤7.
所以α＋3β的取值范围为[1，7]．
答案：[1，7]
9．设实数a，b，c满足
①b＋c＝6－4a＋3a2，
②c－b＝4－4a＋a2.
试确立a，b，c的大小关系．
解：因为c－b＝(a－2)2≥0，所以c≥b，
又2b＝2＋2a2，所以b＝1＋a2，
所以b－a＝a2－a＋1＝＋>0，
所以b>a，从而c≥b>a.
10．若a>b>0，c.
证明：因为c－d>0.
又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0.
所以0<<.
又因为e<0，所以>.

1．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则(　　)
A. －＞0
B．sin x－sin y＞0
C. －＜0
D．ln x＋ln y＞0
解析：选C.法一：(通性通法)因为x＞y＞0，选项A，取x＝1，y＝，则－＝1－2＝－1＜0，排除A；选项B，取x＝π，y＝，则sin x－sin y＝sin π－sin ＝－1＜0，排除B；选项D，取x＝2，y＝，则ln x＋ln y＝ln(xy)＝ln 1＝0，排除D.故选C.
法二：(光速解法)因为函数y＝在R上单调递减，且x＞y＞0，所以＜，即－
＜0，故选C.
2．(2017·高考山东卷)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a＋< B. C．a＋ D．log2(a＋b) 解析：选B.根据题意，令a＝2，b＝进行验证，易知a＋＝4，＝，log2(a＋b)＝log2＞1，因此a＋＞log2(a＋b)＞.
3．已知△ABC的三边长分别为a，b，c且满足b＋c≤3a，则的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．(0，2)
C．(1，3) D．(0，3)
解析：选B.由已知及三角形的三边关系得
所以所以
两式相加得，0<2×<4，所以的取值范围为(0，2)，故选B.
4．(2018·安徽合肥模拟)已知a，b，c∈(0，＋∞)，若<<，则(　　)
A．c C．a 解析：选A.由<<，可得＋1<＋1<＋1，即<<，又a，b，c∈(0，＋∞)，所以a＋b>b＋c>c＋a.由a＋b>b＋c可得a>c；由b＋c>c＋a可得b>a，于是有c 5．某公司组织员工去某地参观学习需包车前往，甲车队：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队：“团体票可按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据去的人数选择收费优惠的车队．
解：设该公司员工有n人(n∈N*)，全票价为x元，选择甲车队需花y1元，选择乙车队需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋nx，y2＝nx.
所以y1－y2＝x＋nx－nx
＝x－nx
＝x.
当n＝5时，y1＝y2；
当n>5时，y1 当n<5时，y1>y2.
因此当去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．
6．已知12 解：因为15 又12 所以12－36 所以－24 即a－b的取值范围是(－24，45)．
因为<<，
所以<<，
所以<<4，
即的取值范围是.