2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第7章3第3讲　二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题

第3讲　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域

不等式(组)
表示区域
Ax＋By＋
C>0(<0)
直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域
不包括边界直线
Ax＋By＋
C≥0(≤0)
包括边界直线
不等式组
各个不等式所表示平面区域的公共部分
2.二元一次不等式(组)的解集
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
3．线性规划的有关概念

名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约
束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)　
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝x＋2y
线性目
标函数
关于x，y的一次函数解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规
划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)
(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域．(　　)
(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(　　)
(4)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(　　)
(5)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
(教材习题改编)不等式x－2y＋6＜0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的(　　)
A．右上方 B．右下方
C．左上方 D．左下方
解析：选C.画出x－2y＋6＜0的图象如图所示，可知该
区域在直线x－2y＋6＝0的左上方．故选C.

(2017·高考天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋y的最大值为(　　)
A. B．1
C. D．3
解析：选D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出直线y＝－x，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B(0，3)处取得，故zmax＝0＋3＝3，选项D符合．
.
不等式组表示的平面区域的面积为________．
解析：不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A(1，2)，B(2，2)，C(3，0)，则△ABC的面积为S＝×(2－1)×2＝1.
答案：1
(2017·高考全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．
解析：画出不等式组
所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由解得所以zmin＝－5.
答案：－5


　　　　　　二元一次不等式(组)表示的平
面区域
[典例引领]
(1)不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)
A. B.
C. D.
(2)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　(1)不等式组所表示平面区域如图所示．

解得A(1，1)，易得B(0，4)，C，
|BC|＝4－＝.
故S△ABC＝××1＝.
(2)画出平面区域表示的可行域如图阴影部分所示．

易求得A(1，2)，B(2，1)．
因为kAB＝－1，所以|AB|即为所求的最小距离，|AB|＝＝.
【答案】　(1)C　(2)B

若本例(1)中平面区域为D，且直线y＝a(x＋1)与D有公共点，求实数a的取值范围．
解：由例题(1)解析知，不等式组表示的可行域如图，

因为直线y＝a(x＋1)恒过定点C(－1，0)，由图并结合题意易知kAC＝，kBC＝4，所以要使直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点，则≤a≤4.

二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定方法
(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域；
(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．　
[通关练习]
1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是(　　)


解析：选C.(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，即或与选项C符合．故选C.
2．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　)
A．a<5 B．a≥7
C．5≤a<7 D．a<5或a≥7
解析：选C.如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C.


　　　　　　求线性目标函数的最值(范围)(高频考点)
线性目标函数的最值(范围)问题是每年高考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．高考对线性目标函数最值(范围)问题的考查有以下三个命题角度：
(1)求线性目标函数的最值(范围)；
(2)已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)；
(3)求非线性目标函数的最值(范围)．
[典例引领]
角度一　求线性目标函数的最值(范围)
(2017·高考全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是(　　)
A．－15 B．－9
C．1 D．9
【解析】　法一：作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15，选择A.

法二：易求可行域顶点A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1，－15，9，故最小值为－15.
【答案】　A
角度二　已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)
(2018·惠州市第三次调研考试)已知x，y满足约束条件，若z＝ax＋y的最大值为4，则a等于(　　)
A．3 B．2
C．－2 D．－3
【解析】　不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．

易知A(2，0)，由，得B(1，1)．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z，所以当a＝－2或a＝－3时，z＝ax＋y在点O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax＝0，不满足题意，排除C，D；当a＝2或a＝3时，z＝ax＋y在点A(2，0)处取得最大值，所以2a＝4，所以a＝2，故选B.
【答案】　B
角度三　求非线性目标函数的最值(范围)
(2018·成都市第一次诊断性检测)若实数x，y满足约束条件则的最小值为________．
【解析】　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为表示平面区域内的点与定点P(0，1)连线的斜率．由图知，点P与点A连线的斜率最小，所以＝kPA＝＝－.

【答案】　－

线性规划两类问题的解决方法
(1)求不含参数的目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：
①截距型：形如z＝ax＋by；②距离型：形如z＝；③斜率型：形如z＝.　
(2)含参数的线性规划问题：参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中，求解步骤为：①注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．
[提醒]　求目标函数的最值时，易弄错目标函数的几何意义而求错．如x2＋y2是距离的平方，易忽视平方而求错．
[通关练习]
1．(2017·高考全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件，则z＝x－y的取值范围是(　　)
A．[－3，0] B．[－3，2]
C．[0，2] D．[0，3]
解析：选B.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当直线z＝x－y过点A(2，0)时，z取得最大值2，当直线z＝x－y过点B(0，3)时，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范围是[－3，2]，故选B.

2．(2018·惠州市第三次调研考试)已知实数x，y满足：若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选B.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C时，z取得最小值－4，所以－a＋2·＝－4，解得a＝2.

3．(2018·太原市模拟试题)已知实数x，y满足条件则z＝x2＋y2的取值范围为(　　)
A．[1，13] B．[1，4]
C. D.
解析：选C.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值为点O到直线BC：2x－y＋2＝0的距离的平方，zmin＝，最大值为点O与点A(－2，3)的距离的平方，zmax＝|OA|2＝13.


　　　　　　线性规划的实际应用
[典例引领]
(2016·高考全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
【解析】　由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y，
线性约束条件为
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，
所以zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．

【答案】　216 000

利用线性规划解决实际问题的五步曲
　
某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为(　　)
A．31 200元　 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
解析：选C.设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为

作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5，12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．


利用线性规划求目标函数最值的步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l；
(2)平移——将直线l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置，有时需要进行直线l和可行域边界的斜率的大小比较；
(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
求z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法
将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；
(2)当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
易错防范
(1)画出平面区域，避免失误的重要方法就是首先将二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)的形式；
(2)线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．

1．(2018·长春模拟)不等式组表示的平面区域是(　　)

解析：选B.x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0以及该直线下方的区域，x－y＋2<0表示直线x－y＋2＝0上方的区域，故选B.
2．二元一次不等式组所表示的平面区域的面积为(　　)
A．18　　　 B．24
C．36 D．12
解析：选C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，

四边形ABCD是平行四边形，由图中数据可知其面积S＝(4＋2)×6＝36.
3．(2018·合肥市第一次教学质量检测)若实数x，y满足约束条件，则x－2y的最大值为(　　)
A．－9 B．－3
C．－1 D．3
解析：选C.画出可行域，如图中阴影部分所示，令z＝x－2y，可知z＝x－2y在点(1，1)处取得最大值－1，故选C.

4．(2018·河南郑州模拟)已知实数x，y满足则z＝2|x－2|＋|y|的最小值是(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：选C.画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分，其中A(2，4)，B(1，5)，C(1，3)，所以x∈[1，2]，y∈[3，5]．

所以z＝2|x－2|＋|y|＝－2x＋y＋4，当直线y＝2x－4＋z过点A(2，4)时，直线在y轴上的截距最小，此时z有最小值，所以zmin＝－2×2＋4＋4＝4，故选C.
5．(2018·河南郑州一中押题卷二)若x，y满足约束条件则当取最大值时，x＋y的值为(　　)
A．－1 B．1
C．－ D.
解析：选D.作出可行域如图中阴影部分所示，的几何意义是过定点M(－3，－1)与可行域内的点(x，y)的直线的斜率，由图可知，当直线过点A(0，)时，斜率取得最大值，此时x，y的值分别为0，，所以x＋y＝.故选D.

6．(2017·高考全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件则z＝3x－4y的最小值为________．
解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：3x－4y＝0，平移直线l，当直线z＝3x－4y经过点A(1，1)时，z取得最小值，最小值为3－4＝－1.

答案：－1
7．(2018·广东茂名模拟)已知点A(1，2)，点P(x，y)满足O为坐标原点，则z＝·的最大值为________．
解析：由题意知z＝·＝x＋2y，作出可行域如图阴影部分，作直线l0：y＝－x，当l0移到过A(1，2)的l的位置时，z取得最大值，即zmax＝1＋2×2＝5.

答案：5
8．(2018·西安市八校联考)设实数x，y满足，若z＝x＋2y的最大值为3，则a的值是________．
解析：依题意得a>0，在平面直角坐标系内大致画出不等式组表示的平面区域，结合图形可知，直线z＝x＋2y经过直线y＝a与直线x－y＝0的交点，即点(a，a)时，z＝x＋2y取得最大值3，因此a＋2a＝3，a＝1.
答案：1
9.已知D是以点A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．
(1)写出表示区域D的不等式组；
(2)设点B(－1，－6)，C(－3，2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
解：(1)直线AB、AC、BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0，4x＋y＋10＝0.原点(0，0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为
(2)根据题意有
[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，
即(14－a)(－18－a)<0，
得a的取值范围是－18 10．变量x，y满足
(1)设z＝，求z的最小值；
(2)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的最大值．
解：由约束条件作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示．

由
解得A.
由解得C(1，1)．
由解得B(5，2)．
(1)因为z＝＝，所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，观察图形可知zmin＝kOB＝.
(2)z＝x2＋y2＋6x－4y＋13＝(x＋3)2＋(y－2)2的几何意义是可行域上的点到点(－3，2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3，2)的距离中，
dmax＝＝8，
故z的最大值为64.

1．(2018·河南安阳模拟)已知z＝2x＋y，其中实数x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是(　　)
A. B.
C．4 D.
解析：选B.作出不等式组对应的平面区域如图：

由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，
平移直线y＝－2x，
由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线的纵截距最大，
此时z最大，
由解得
即A(1，1)，zmax＝2×1＋1＝3，
当直线y＝－2x＋z经过点B时，直线的纵截距最小，
此时z最小，
由解得
即B(a，a)，zmin＝2×a＋a＝3a，
因为z的最大值是最小值的4倍，
所以3＝4×3a，即a＝，故选B.
2．(2018·石家庄市教学质量检测(二))若x，y满足约束条件，则z＝的最小值为(　　)
A．－2 B．－
C．－ D.
解析：选C.作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝表示区域内的点与点P(－3，2)连线的斜率．由图知当区域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，则有＝2，解得k＝－或k＝0(舍去)，所以zmin＝－，故选C.

3．(2018·陕西省高三教学质量检测试题(一))点(x，y)满足不等式|x|＋|y|≤1，Z＝(x－2)2＋(y－2)2，则Z的最小值为________．
解析：|x|＋|y|≤1所确定的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数Z＝(x－2)2＋(y－2)2的几何意义是点(x，y)到点P(2，2)距离的平方，由图可知Z的最小值为点P(2，2)到直线x＋y＝1距离的平方，即为＝.

答案：
4．(2018·山西五校联考)不等式组表示的平面区域为Ω，直线x＝a(a>1)将平面区域Ω分成面积之比为1∶4的两部分，则目标函数z＝ax＋y的最大值为________．
解析：如图，平面区域Ω为△ABC及其内部，作直线x＝a(1
答案：9
5．若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)．

平移初始直线x－y＋＝0，过A(3，4)时z取最小值－2，过C(1，0)时z取最大值1.
所以z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，
解得－4 故a的取值范围是(－4，2)．
6．(2017·高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：


连续剧播放
时长(分钟)
广告播放
时长(分钟)
收视
人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．
(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为
即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：

(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.
考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．
解方程组得点M的坐标为(6，3)．
所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．