2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第8章3第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系

1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
公理2的三个推论：
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
2．空间直线的位置关系
(1)位置关系的分类

(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：．
(3)等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)空间中直线和平面的位置关系

位置关系
图形表示
符号表示
公共点
直线a在
平面α内

a⊂α
有无数个
公共点
直线
在平
面外
直线a与
平面α
平行

a∥α
没有公
共点
直线a与
平面α
斜交

a∩α＝A
有且只
有一个
公共点
直线a与
平面α
垂直

a⊥α
(2)空间中两个平面的位置关系

位置关系
图形表示
符号表示
公共点
两平面平行

α∥β
没有公共点
两平
面相
交
斜交

α∩β＝l
有一条公共
直线
垂直

α⊥β且
α∩β＝a

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　　)
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)
(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(　　)
(4)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
(教材习题改编)下列命题正确的是(　　)
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
解析：选D.A选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定一个平面；B选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定一个平面；C选项中的四边形有可能是空间四边形，只有D是正确的．
(教材习题改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是(　　)
A．空间四边形　　　　　　 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析：选B.如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形．
因为E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF∥AC.
又FG∥BD，
所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
所以∠EFG＝90°，故四边形EFGH为矩形．
(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．
解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.
答案：60°
在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为侧棱PC，PB的中点，则EF与平面PAD的位置关系为________，平面AEF与平面ABCD的交线是________．
解析：由题易知EF∥BC，BC∥AD，所以EF∥AD，故EF∥平面PAD，因为EF∥AD，所以E，F，A，D四点共面，所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线．
答案：平行　AD


　　　　　　平面的基本性质
[典例引领]
如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：E、C、D1、F四点共面．

【证明】　如图所示，连接CD1、EF、A1B，
因为E、F分别是AB和AA1的中点，
所以EF∥A1B且EF＝A1B.
又因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，
所以EF与CD1确定一个平面α，
所以E、F、C、D1∈α，
即E、C、D1、F四点共面．

若本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？
证明：如图，由本例知EF∥CD1，且EF＝CD1，
所以四边形CD1FE是梯形，
所以CE与D1F必相交，设交点为P，
则P∈CE，且P∈D1F，
又CE⊂平面ABCD，
且D1F⊂平面A1ADD1，
所以P∈平面ABCD，
且P∈平面A1ADD1.
又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，
所以CE、D1F、DA三线交于一点．

共面、共线、共点问题的证明方法
(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
(2)证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上．　
(3)证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
[提醒]　点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上．
如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．
证明：(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD.
在△BCD中，＝＝，
所以GH∥BD，
所以EF∥GH.
所以E，F，G，H四点共面．
(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，
所以P∈平面ABC.
同理P∈平面ADC.
所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，
所以P，A，C三点共线．

　　　　　　空间两直线的位置关系
[典例引领]
(构造法)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是(　　)
①若直线m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；
②若直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；
③已知平面α，β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；
④若直线m，n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.
A．②　　　　　　　　　　 B．②③
C．①③ D．②④
【解析】　对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，①错误；
对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；
对于③，还有可能n∥β或n与β相交，③错误；
对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错误．因此选A.
【答案】　A

(1)异面直线的判定方法

(2)构造法判断空间两直线的位置关系
对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断，可避免因考虑不全面而导致错误，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性．　
[通关练习]
1．已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则(　　)
A．m与n异面
B．m与n相交
C．m与n平行
D．m与n异面、相交、平行均有可能
解析：选D.在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．故选D.

2．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．
答案：②④

　　　　　　异面直线所成的角(高频考点)
从近几年的高考试题来看，异面直线所成的角是高考的热点，题型既有选择题又有填空题，也有解答题，难度为中低档题．高考对异面直线所成的角的考查主要有以下两个命题角度：
(1)求异面直线所成的角或其三角函数值；
(2)由异面直线所成角求其他量．
[典例引领]
角度一　求异面直线所成的角或其三角函数值
(2017·高考全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】　如图所示，将直三棱柱ABC­A1B1C1补成直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝，AD1＝.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝＝，所以cos∠B1AD1＝＝，选择C.
【答案】　C
角度二　由异面直线所成角求其他量
四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1，则EF的长为________．
【解析】　如图，取BC的中点O，连接OE，OF，
因为OE∥AC，OF∥BD，
所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝.
当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，则OM⊥EF，
EF＝2EM＝2×＝.
【答案】　或

　
[通关练习]
1．如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是(　　)

A. B.
C. D．2
解析：选B.如图，取AC中点G，连接FG，EG，则FG∥C1C，FG＝C1C；EG∥BC，EG＝BC，故∠EFG即为EF与C1C所成的角，在Rt△EFG中，
cos∠EFG＝＝＝.
2．(2018·安徽安庆模拟)正四面体ABCD中，E、F分别为AB、BD的中点，则异面直线AF、CE所成角的余弦值为________．
解析：取BF的中点G，连接CG，EG，易知EG∥AF，所以异面直线AF、CE所成的角即为∠GEC(或其补角)．不妨设正四面体棱长为2，易求得CE＝，EG＝，CG＝，由余弦定理得cos∠GEC＝＝＝，所以异面直线AF、CE所成角的余弦值为.
答案：

三个公理的作用
公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理．
求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想．
易错防范
(1)正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”．
(2)不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件．
(3)两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定(　　)
A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．
2．(2018·赣州四校联考)若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是(　　)
A．AB∥CD　　　　　　　 B．AD∥CB
C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面
解析：选D.因为平面α∥平面β，要使直线AC∥直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必须共面．
3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)
A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC
解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，
又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以点D在平面ABC与平面β的交线上．
又因为C∈平面ABC，C∈β，
所以点C在平面β与平面ABC的交线上，
所以平面ABC∩平面β＝CD.
4.如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，D为AB的中点，则异面直线CD与A1C1所成的角的大小为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：选D.因为AC∥A1C1，所以异面直线CD与A1C1所成的角的平面角为∠ACD.由∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝1，D为AB的中点，可知，∠CAD＝∠ACD＝30°.
5.(2018·河北邯郸调研)如图，在三棱锥S­ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是(　　)
A．相交
B．平行
C．异面
D．以上都有可能
解析：选B.连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN.由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝SN，所以在△SMN中，＝，所以G1G2∥MN，
易知MN是△ABC的中位线，所以MN∥BC，
因此可得G1G2∥BC，即直线G1G2与BC的位置关系是平行．故选B.
6．给出下列四个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交；
③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；
④若三条直线两两相交，则这三条直线共面．
其中真命题的序号是________．
解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有一个公共点．②正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面内．
答案：①②③
7.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论的序号都填上)．
解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．
答案：③④
8.如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．
解析：如图，取A1C1的中点D1，连接B1D1，
因为点D是AC的中点，所以B1D1∥BD，所以
∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角．连接AD1，设AB＝a，则AA1＝a，
所以AB1＝a，B1D1＝a，
AD1＝ ＝a.
所以，在△AB1D1中，由余弦定理得，
cos ∠AB1D1＝
＝＝，
所以∠AB1D1＝60°.
答案：60°
9．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
(1)求AC与A1D所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
解：(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD­A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．
因为AB1＝AC＝B1C，
所以∠B1CA＝60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
(2)连接BD，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.
因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD，所以EF⊥AC.
所以EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
10.如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：
(1)三棱锥P­ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，
三棱锥P­ABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.

(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.

1．(2018·河南百校联盟质检)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是DD1和AB的中点，平面B1EF交棱AD于点P，则PE＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.过点C1作C1G∥B1F，交直线CD于点G，过点E作HQ∥C1G，交CD、C1D1于点H、Q，连接B1Q，HF交AD于点P，HQ∥B1F，所以Q、H、F、B1四点共面，易求得HD＝D1Q＝，由△PDH∽△PAF可得＝＝2，则PD＝，在Rt△PED中，PE＝＝，故选D.
2．已知三棱锥A­BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为60°，点M，N分别是BC，AD的中点，则直线AB和MN所成的角为________．
解析：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，
则PM∥AB，且PM＝AB，
PN∥CD，且PN＝CD，所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角)，则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.
因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或其补角)．
①若∠MPN＝60°，
因为AB＝CD，所以PM＝PN，
则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，
即AB与MN所成的角为60°.
②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝30°，即AB与MN所成的角为30°.
综上，直线AB和MN所成的角为60°或30°.
答案：60°或30°
3．(2017·高考全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°；
其中正确的是________．(填写所有正确结论的编号)
解析：由题意知，a，b，AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体的棱长为1，
则AC＝1，AB＝，
斜边AB以直线AC 为旋转轴旋转，则A点保持不变，
B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆．
以C为坐标原点，以的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系．
则D(1，0，0)，A(0，0，1)，
直线a的单位方向向量a＝(0，1，0)，|a|＝1.
B点起始坐标为(0，1，0)，
直线b的单位方向向量b＝(1，0，0)，|b|＝1.
设B点在运动过程中的坐标B′(cos θ，sin θ，0)，
其中θ为与的夹角，θ∈[0，2π)．
那么AB′在运动过程中的向量＝(cos θ，sin θ，－1)，
||＝.
设直线AB′与a所成的夹角为α∈，
cos α＝＝|sin θ|∈.
故α∈，所以③正确，④错误．
设直线AB′与b所成的夹角为β，则β∈，
cos β＝
＝
＝|cos θ|.
当AB′与a成60°角时，α＝，
|sin θ|＝cos α＝cos＝×＝.
因为cos2θ＋sin2θ＝1，
所以|cos θ|＝.
所以cos β＝|cos θ|＝.
因为β∈，所以β＝，此时AB′与b成60°角．
所以②正确，①错误．
答案：②③
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
解析：法一：如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．
法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ(图略)，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．
答案：无数
5.如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．
(1)求证：AE与PB是异面直线；
(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值．
解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α.
因为A∈α，B∈α，E∈α，
所以平面α即为平面ABE，
所以P∈平面ABE，
这与P∉平面ABE矛盾，
所以AE与PB是异面直线．
(2)取BC的中点F，
连接EF、AF，则EF∥PB，
所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE和PB所成的角．
因为∠BAC＝60°，
PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，
所以AF＝，AE＝，EF＝，
cos∠AEF＝
＝＝，
所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为.
6.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.
(1)证明：E，F，G，H四点共面；
(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？
(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD，试证明：EG＝FH.
解：(1)因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.
又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.
所以E，F，G，H四点共面．
(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．
因为＝＝，所以EH＝BD.
同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n.
故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．
(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.