2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第8章4第4讲　直线、平面平行的判定与性质

第4讲　直线、平面平行的判定与性质

1．直线与平面平行的判定定理和性质定理


文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)

因为l∥a，
a⊂α，l⊄α，
所以l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

因为l∥α，
l⊂β，α∩
β＝b，
所以l∥b
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理


文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

因为a∥β，
b∥β，a∩
b＝P，
a⊂α，b⊂α，
所以α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

因为α∥β，
α∩γ＝a，
β∩γ＝b，
所以a∥b
3.线、面平行中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(　　)
(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(　　)
(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　　)
(4)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　)
(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
(教材习题改编)如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交
解析：选D.因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.
a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：
①⇒α∥β　　　　　 ②⇒α∥β
③⇒a∥α ④⇒a∥α
其中正确的命题是________．
解析：②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a可能在α内．
答案：②
(教材习题改编)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．
解析：如图，连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.
答案：平行


　　　　　　线面平行的判定与性质(高频考点)
平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题的某一问中．高考对线面平行的判定与性质的考查主要有以下三个命题角度：
(1)线面位置关系的判断；
(2)线面平行的证明；
(3)线面平行性质的应用．
[典例引领]
角度一　线面位置关系的判断
设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列结论中正确的是(　　)
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β
【解析】　A错误，n有可能在平面α内；B错误，平面α有可能与平面β相交；C错误，n也有可能在平面β内；D正确，易知m∥β或m⊂β，若m⊂β，又n∥m，n⊄β，所以n∥β，若m∥β，过m作平面γ交平面β于直线l，则m∥l，又n∥m，所以n∥l，又n⊄β，l⊂β，所以n∥β.
【答案】　D
角度二　线面平行的证明
在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D.
【证明】　(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，
所以HD1∥MC1.
又因为在平面BCC1B1中，BM綊FC1，
所以四边形BMC1F为平行四边形，
所以MC1∥BF，
所以BF∥HD1.
(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，
则OE∥DC且OE＝DC，
又D1G∥DC且D1G＝DC，
所以OE綊D1G，
所以四边形OEGD1是平行四边形，
所以GE∥D1O.
又D1O⊂平面BB1D1D，GE⊄平面BB1D1D，
所以EG∥平面BB1D1D.
角度三　线面平行性质的应用
如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.证明：FG∥平面AA1B1B.

【证明】　在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D，
又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，
所以CC1∥FG，因为BB1∥CC1，
所以BB1∥FG，而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B.

证明直线与平面平行的常用方法
(1)定义法：证明直线与平面没有公共点，通常要借助于反证法来证明．
(2)判定定理法：在利用判定定理时，关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线、平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其交线进行证明．　
[通关练习]
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)

解析：选A.对于选项B，如图所示，连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB∥平面MNQ.故选A.

2.如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，F是AB的中点，E是PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)在PC上求一点G，使FG∥平面AEC，并证明你的结论．
解：(1)证明：连接BD与AC交于点O，连接EO.
因为四边形ABCD为矩形，
所以O为BD的中点．
又E为PD的中点，
所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
所以PB∥平面AEC.
(2)PC的中点G即为所求的点．
证明如下：
连接GE、FG，
因为E为PD的中点，
所以GE綊CD.
又F为AB的中点，且四边形ABCD为矩形，
所以FA綊CD.
所以FA綊GE.
所以四边形AFGE为平行四边形，
所以FG∥AE.又FG⊄平面AEC，AE⊂平面AEC，
所以FG∥平面AEC.

　　　　　　面面平行的判定与性质
[典例引领]
如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
【证明】　(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，
所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．
(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，
所以EF∥BC，
因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，
所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，
所以A1E∥GB.
因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
又因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.

1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.
证明：如图所示，连接HD，A1B，
因为D为BC1的中点，
H为A1C1的中点，
所以HD∥A1B，
又HD⊄平面A1B1BA，
A1B⊂平面A1B1BA，
所以HD∥平面A1B1BA.
2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明：如图所示，
连接A1C交AC1于点M，
因为四边形A1ACC1是平行四边形，
所以M是A1C的中点，连接MD，
因为D为BC的中点，
所以A1B∥DM.
因为A1B⊂平面A1BD1，
DM⊄平面A1BD1，
所以DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，
所以四边形BDC1D1为平行四边形，
所以DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，
所以DC1∥平面A1BD1，
又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，
所以平面A1BD1∥平面AC1D.

　
　　　　　　　　　　　　
如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于C，E和D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD的长为(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C.由AB∥α∥β，易证 ＝.
即＝，
所以BD＝＝＝.

　　　　　　线、面平行中的探索性问题
[典例引领]
如图，四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
【解】　(1)证明：如图所示，取PA的中点H，连接EH，DH，
因为E为PB的中点，
所以EH∥AB，EH＝AB，
又AB∥CD，CD＝AB.
所以EH∥CD，EH＝CD，
因此四边形DCEH是平行四边形，
所以CE∥DH，
又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，
所以CE∥平面PAD.
(2)如图所示，取AB的中点F，连接CF，EF，
所以AF＝AB，又CD＝AB，所以AF＝CD，
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，
所以CF∥AD，
又CF⊄平面PAD，
所以CF∥平面PAD，
由(1)可知CE∥平面PAD，
又CE∩CF＝C，
故平面CEF∥平面PAD，
故存在AB的中点F满足要求．

解决探索性问题的方法
(1)根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设．
(2)按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”“只需使……成立”．　
如图，已知在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD⊥DC，AB∥DC，DC＝DD1＝2AD＝2AB＝2.
(1)求证：DB⊥平面B1BCC1；
(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使得D1E∥平面A1BD，并说明理由．
解：(1)证明：因为AB∥DC，AD⊥DC，
所以AB⊥AD，
在Rt△ABD中，AB＝AD＝1，
所以BD＝，易求BC＝，
因为CD＝2，
所以BD⊥BC.
又BD⊥BB1，B1B∩BC＝B，
所以BD⊥平面B1BCC1.
(2)DC的中点为E点．
如图，连接BE，
因为DE∥AB，DE＝AB，
所以四边形ABED是平行四边形．
所以AD∥BE.
又AD∥A1D1，所以BE∥A1D1，
所以四边形A1D1EB是平行四边形，
所以D1E∥A1B.
因为D1E⊄平面A1BD，所以D1E∥平面A1BD.

线线、线面、面面平行间的转化
线线平行线面平行面面性质定理判定定理平行
其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．
线面、面面平行的判定中所遵循的原则
一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”
到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，不可过于“模式化”．
易错防范
(1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．
(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．在空间内，下列命题正确的是(　　)
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：选D.对于A，平行直线的平行投影也可能互相平行，或为两个点，故A错误；对于B，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B错误；对于C，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C错误；而D为直线和平面垂直的性质定理，正确．
2．平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
解析：选D.若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.
3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β
B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β
D．若m∥n，m∥α，则n∥α
解析：选C.对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交；易知C正确；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．故选C.
4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　)
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
解析：选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊BD，又EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．
　　　　　　　　　　　　

5.在三棱锥S­ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝12，平面DEFH分别与AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H，且它们分别是AB、BC、SC、SA的中点，那么四边形DEFH的面积为(　　)
A．18　　　　B．18 C．36　　　　D．36
解析：选A.因为D、E、F、H分别是AB、BC、SC、SA的中点，所以DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB，EF∥SB，则四边形DEFH是平行四边形，且HD＝SB＝6，DE＝AC＝3.如图，取AC的中点O，连接OB、SO，因为SA＝SC＝12，AB＝BC＝6，所以AC⊥SO，AC⊥OB，又SO∩OB＝O，所以AO⊥平面SOB，所以AO⊥SB，则HD⊥DE，即四边形DEFH是矩形，所以四边形DEFH的面积S＝6×3＝18，故选A.
6．设m，l表示直线，α表示平面，若m⊂α，则“l∥α”是“l∥m”的________条件．(填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”)
解析：m⊂α，l∥α不能推出l∥m；m⊂α，l∥m也不能推出l∥α，所以是既不充分也不必要条件．
答案：既不充分也不必要
7.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，
所以EF∥AC，所以F为DC的中点．
故EF＝AC＝.
答案：
8．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是________．
解析：如图，取AB，C1D1的中点E，F，连接A1E，A1F，EF，则平面A1EF∥平面BPC1.
在△A1EF中，
A1F＝A1E＝，EF＝2，
S△A1EF＝×2×＝，
从而所得截面面积为2S△A1EF＝2.
答案：2
9.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：(1)如图，连接SB，
因为E、G分别是BC、SC的中点，
所以EG∥SB.
又因为SB⊂平面BDD1B1，
EG⊄平面BDD1B1，
所以直线EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD，
因为F、G分别是DC、SC的中点，
所以FG∥SD.
又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，
所以FG∥平面BDD1B1，又EG⊂平面EFG，
FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
所以平面EFG∥平面BDD1B1.
10．(2018·云南省11校跨区调研)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝2，∠ACD＝60°，E为CD的中点．
(1)求证：BC∥平面PAE；
(2)求点A到平面PCD的距离．
解：(1)证明：因为AB＝，BC＝1，∠ABC＝90°，
所以AC＝2，∠BCA＝60°.
在△ACD中，因为AD＝2，AC＝2，∠ACD＝60°，
所以AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos∠ACD，
所以CD＝4，所以AC2＋AD2＝CD2，
所以△ACD是直角三角形，
又E为CD中点，
所以AE＝CD＝CE，
因为∠ACD＝60°，
所以△ACE为等边三角形，
所以∠CAE＝60°＝∠BCA，
所以BC∥AE，
又AE⊂平面PAE，BC⊄平面PAE，
所以BC∥平面PAE.
(2)设点A到平面PCD的距离为d，根据题意可得，
PC＝2，PD＝CD＝4，
所以S△PCD＝2，
因为VP­ACD＝VA­PCD，
所以·S△ACD·PA＝·S△PCD·d，
所以××2×2×2＝×2d，
所以d＝，
所以点A到平面PCD的距离为.

1．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：

①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面EFGH所在四边形的面积为定值；
③棱A1D1始终与水面所在平面平行；
④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．
其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由题图，显然①是正确的，②是错的；
对于③因为A1D1∥BC，BC∥FG，
所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，
所以A1D1∥平面EFGH(水面)．
所以③是正确的；
因为水是定量的(定体积V)．
所以S△BEF·BC＝V，
即BE·BF·BC＝V.
所以BE·BF＝(定值)，即④是正确的，故选C.
2．(2018·安徽安庆模拟)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N、Q分别是棱D1C1、A1D1、BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1.则以下四个说法：
①MN∥平面APC；
②C1Q∥平面APC；
③A、P、M三点共线；
④平面MNQ∥平面APC.
其中说法正确的是________．
解析：①连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM、CN，
易得AM、CN交于点P，即MN⊂面APC，所以MN∥面APC是错误的；
②由①知M、N在平面APC上，由题易知AN∥C1Q，
所以C1Q∥面APC是正确的；
③由①知A，P，M三点共线是正确的；
④由①知MN⊂面APC，
又MN⊂面MNQ，
所以面MNQ∥面APC是错误的．
答案：②③
3．(2018·福建泉州质检)在如图所示的多面体中，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，AD∥BC，AB＝CD，∠ABC＝60°，BC＝2AD＝4DE＝4.
(1)在AC上求作点P，使PE∥平面ABF，请写出作法并说明理由；
(2)求三棱锥A­CDE的高．
解：(1)取BC的中点G，连接DG，交AC于点P，连接EG，EP.此时P为所求作的点(如图所示)．
下面给出证明：因为BC＝2AD，G为BC的中点，
所以BG＝AD.
又因为BC∥AD，
所以四边形BGDA是平行四边形，
故DG∥AB，即DP∥AB.
又AB⊂平面ABF，DP⊄平面ABF，
所以DP∥平面ABF.
因为AF∥DE，AF⊂平面ABF，DE⊄平面ABF，
所以DE∥平面ABF.
又因为DP⊂平面PDE，DE⊂平面PDE，PD∩DE＝D，
所以平面PDE∥平面ABF，
因为PE⊂平面PDE，
所以PE∥平面ABF.
(2)在等腰梯形ABCD中，因为∠ABC＝60°，BC＝2AD＝4，
所以可求得梯形的高为，从而△ACD的面积为×2×＝.
因为DE⊥平面ABCD，
所以DE是三棱锥E­ACD的高．
设三棱锥A­CDE的高为h.
由VA­CDE＝VE­ACD，可得×S△CDE×h＝S△ACD×DE，即×2×1×h＝×1，解得h＝.
故三棱锥A­CDE的高为.
4．如图所示，四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)如图所示，设DF与GN交于点O，连接AE，则AE必过点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO.
因为BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，
所以DE∥GN.
因为DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN.
因为BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，
所以BD∥平面MNG.
因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE∥平面MNG.