2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第9章12阅读与欣赏

　　　　　　　　　　　　　一道高考题引发的探究

[真题示例]

 (2017·高考全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)

A．16　　　　　　　　　　　 B．14

C．12 D．10

[命题意图]　本题主要考查抛物线的定义、焦点弦及基本不等式的应用(或函数最值)．考查逻辑推理和运算求解能力．

[解题思路]　一般利用弦长公式计算，有时也会引入中间变量利用函数的有界性或取值范围求解．

一、解法探究

　焦点弦

法一：设l1的倾斜角α，α∈(0°，90°)，则l2的倾斜角为90°＋α.

由焦点弦公式得|AB|＝，|DE|＝＝.所以|AB|＋|DE|＝＋＝.

所以当sin22α＝1，即α＝45°时，(|AB|＋|DE|)min＝16.

法二：由题意知，显然直线l1，l2的斜率都存在．

设l1的斜率为k，则l2的斜率为－.

由焦点弦公式得

|AB|＝×4，|DE|＝×4＝(1＋k2)×4.

所以|AB|＋|DE|＝4

＝4≥4＋8＝16.

当且仅当k2＝1，即k＝±1时，(|AB|＋|DE|)min＝16.

　弦长公式与抛物线定义

法三：显然l1，l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，

因为抛物线y2＝4x的焦点F(1，0)，

设l1的方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x得

k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16(k2＋1)＞0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以x1＋x2＝，x1x2＝1.

|AB|＝

＝＝.

同理|DE|＝4(1＋k2)．

所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)．(下同法二)．

法四：由法三与抛物线定义知，

|AB|＝x1＋x2＋2＝＋2＝.

k用－代换得|DE|＝＝4(k2＋1)．

所以|AB|＋|DE|＝＋4(k2＋1)．(下同法二)

答案：A

二、内涵探究

[问题1]　已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过F且互相垂直的弦AB与DE，则＋＝________．

解析：不妨设直线AB的倾斜角为α，α∈(0°，90°)，则

由焦点弦公式得

|AB|＝，|DE|＝＝，

所以＋＝＋＝.

所以＋＝.

答案：

[问题2]　已知F为抛物线y2＝4x的焦点，AB为过F的弦．

有下列结论

①＋为定值；

②|AB|min＝4；

③|FA|·|FB|min＝4；

④以AB为直径的圆与y轴相切；

⑤·为定值．(O为坐标原点)

则正确的结论序号有________．

解析：因为F(1，0)，设弦AB所在的直线方程为x＝my＋1.代入抛物线y2＝4x得y2－4my－4＝0.

Δ＝16(m2＋1)＞0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2.

x1x2＝·＝＝1.

对于①，＋＝＋

＝＝＝1.

即＋为定值1，①正确．

对于②，|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4.

所以|AB|min＝4，②正确．

对于③，|FA|·|FB|＝(x1＋1)(x2＋1)

＝x1x2＋x1＋x2＋1＝4m2＋4≥4，③正确．

对于④，AB的中点M的横坐标为＝2m2＋1，

所以M到y轴的距离为d＝2m2＋1，又|AB|＝2m2＋2＞d.

故以|AB|为直径的圆与y轴相交．

故④错误．(事实上，以AB为直径的圆与准线相切)．

对于⑤，·＝x1x2＋y1y2＝1＋(－4)＝－3.

即·为定值－3，即⑤正确．

所以正确的序号有①②③⑤.

答案：①②③⑤

[问题3]　已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过F且互相垂直的弦AB与DE，则四边形ADBE面积的最小值为(　　)

A．16 B．32

C．48 D．64

解析：选B.由问题1知，S四边形ADBE＝|AB|·|DE|

＝··＝.

当sin22α＝1，即α＝45°时，S四边形ADBE的最小值为32.

三、外延探究

[问题4]　过椭圆C：＋＝1的右焦点F且互相垂直的两弦分别为AB与DE.

(1)求证＋为定值，并求|AB|＋|DE|的最小值；

(2)求四边形ADBE面积S的最小值，并求此时直线AB的方程．

解：(1)由＋＝1知F(1，0)．

设直线AB的方程为x＝my＋1.

代入＋＝1得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0，

Δ＝144(m2＋1)＞0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝－，y1y2＝.

所以|AB|＝

＝

＝

＝

＝.

m用－代换得|DE|＝.

所以＋

＝＋＝＝.

所以＋＝(定值)．

(|AB|＋|DE|)

＝2＋＋≥2＋2＝4.

即(|AB|＋|DE|)≥4.

所以|AB|＋|DE|≥，

当且仅当|AB|＝|DE|＝时，

|AB|＋|DE|取得最小值.

(2)因为AB⊥DE.

所以S＝|AB|·|DE|

＝··

＝72·

＝72·.

令t＝＋2≥4.

所以S＝72·＝.

所以当t＝4时，Smin＝.

即当m＝±1时，S取得最小值.

此时，直线AB的方程为x＝±y＋1.

即y＝x－1或y＝－x＋1.

[问题5]　如图所示．已知点E(m，0)为抛物线y2＝4x内的一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线，分别交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点．

(1)若m＝1，k1k2＝－1，求三角形EMN面积的最小值；

(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．

解：(1)当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，

因为k1k2＝－1，所以AB⊥CD，

设直线AB的方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得k1y2－4y－4k1＝0，y1＋y2＝，

y1y2＝－4，

因为AB中点M，

所以M，

同理，点N(2k＋1，－2k1)．

所以S△EMN＝|EM|·|EN|＝·＝2≥2＝4，

当且仅当k＝，即k1＝±1时，△EMN的面积取最小值4.

(2)证明：设直线AB方程为y＝k1(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得k1y2－4y－4k1m＝0，y1＋y2＝，

y1y2＝－4m，

因为AB中点M，

所以M，

同理，点N，

所以kMN＝＝＝k1k2，

所以直线MN：y－＝k1k2，

即y＝k1k2(x－m)＋2，

所以直线MN恒过定点(m，2)．