2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第10章3第3讲　二项式定理

第3讲　二项式定理

1．二项式定理
(1)定理：
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(2)通项：
第k＋1项为Tk＋1＝Can－kbk．
(3)二项式系数：
二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．
2．二项式系数的性质


判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n的展开式中的第r项是Can－rbr.(　　)
(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)
(3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与a，b无关．(　　)
(4)通项Tr＋1＝Can－rbr中的a和b不能互换．(　　)
(5)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
(教材习题改编)二项式的展开式中，常数项的值是(　　)
A．240　　　　　　　　　 B．60
C．192 D．180
解析：选A.二项式展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r＝26－rCx6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，所以常数项为26－2C＝16×＝240.
(2017·高考全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．－80 B．－40
C．40 D．80
解析：选C.当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C(2x)2(－y)3，当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C(2x)3(－y)2，所以x3y3的系数为C×23－C×22＝10×(8－4)＝40.
的展开式中，第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第4项为________．
解析：由题意得C＝C，
所以n＝8.
所以展开式的第4项为T4＝Cx5＝56x2.
答案：56x2
在二项式的展开式中，x的系数是－10，则实数a的值为________．
解析：Tr＋1＝C(x2)5－r＝(－a)rCx10－3r.
当10－3r＝1时，r＝3，于是x的系数为(－a)3C＝－10a3＝－10，a＝1.
答案：1

二项展开式中的特定项或特定项的系数(高频考点)
二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．高考对二项式定理的考查主要有以下三个命题角度：
(1)求展开式中的某一项；
(2)求展开式中的项的系数或二项式系数；
(3)由已知条件求n的值或参数的值．
[典例引领]
角度一　求展开式中的某一项
＋的展开式中的常数项为(　　)
A．32　　　　　　　　　 B．34
C．36 D．38
【解析】　的展开式的通项为
Tk＋1＝C(x3)4－k·＝C(－2)kx12－4k，
令12－4k＝0，解得k＝3，
的展开式的通项为
Tr＋1＝C·x8－r·＝C·x8－2r，
令8－2r＝0，得r＝4，所以所求常数项为C(－2)3＋C＝38.
【答案】　D
角度二　求展开式中的项的系数或二项式系数
(2017·高考全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)
A．15 B．20
C．30 D．35
【解析】　(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30，故选C.
【答案】　C
角度三　由已知条件求n的值或参数的值
(2016·高考山东卷)若(ax2＋)5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．
【解析】　(ax2＋)5的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r·x－＝Ca5－r ·x10－，令10－r＝5，得r＝2，所以Ca3＝－80，解得a＝－2.
【答案】　－2

与二项展开式有关问题的解题策略
(1)求展开式中的第n项，可依据二项式的通项直接求出第n项．
(2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．
(3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．　
[通关练习]
1．若的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C.Tr＋1＝C(x6)n－r＝Cx6n－r，当Tr＋1是常数项时，6n－r＝0，即n＝r，又n∈N*，故n的最小值为5，故选C.
2．(x2－x＋1)10的展开式中x3项的系数为(　　)
A．－210 B．210
C．30 D．－30
解析：选A.(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10，
所以含x3项的系数为：－CC＋C(－C)＝－210.
3．(2018·贵州省适应性考试)(x＋1)(x＋a)4的展开式中含x4项的系数为9，则实数a的值为________．
解析：(x＋1)(x＋a)4＝x(x＋a)4＋(x＋a)4，对于x(x＋a)4，T2＝x×Cx3a，对于(x＋a)4，T0＝Cx4a0，所以4a＋1＝9，解得a＝2.
答案：2
二项式系数的性质或各项系数和
[典例引领]
(1)在二项式的展开式中，系数最大的项为第________项．
(2)(2018·安徽省“江南十校”联考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
【解析】　(1)依题意可知Tr＋1＝C(－1)rx22－3r，0≤r≤11，r∈Z，二项式系数最大的是C与C.当r＝6时，T7＝Cx4，故系数最大的项是第七项．
(2)令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.
【答案】　(1)七　(2)1或－3

本例(2)变为：若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________．
解析：令x＝2，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(4＋m)9，令x＝0，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝(m＋2)9，所以有(4＋m)9(m＋2)9＝39，即m2＋6m＋5＝0，解得m＝－1或－5.
答案：－1或－5

赋值法的应用
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可．
(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.　
[通关练习]
1．在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)
A．15 B．20
C．30 D．120
解析：选A.因为二项展开式中中间项的二项式系数最大，又二项式系数最大的项只有第4项，
所以展开式中共有7项，
所以n＝6，
展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r＝Cx12－3r，
令12－3r＝0，则r＝4，
故展开式中的常数项为T5＝C＝15.
2．(2017·高考浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________．
解析：由题意知a4为含x的项的系数，根据二项式定理得a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C×13×C×22＝4.
答案：16　4
二项式定理的应用
[典例引领]
设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝(　　)
A．0　　　　　　　　　　 B．1
C．11 D．12
【解析】　512 018＋a＝(52－1)2 018＋a＝C522 018－C522 017＋…＋C×52×(－1)2 017＋C×(－1)2 018＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2 018＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.
【答案】　D

(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．
(2)求余数问题时，应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)与余式的关系及余式的范围．　
求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．
证明：因为n∈N*，且n>2，
所以3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．
(2＋1)n＝2n＋C·2n－1＋…＋C·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，
故3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．

二项展开式中系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得．
易错防范
(1)通项Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项．
(2)(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．
(3)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C(k＝0，1，…，n)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2018·广东测试)的展开式中，常数项是(　　)
A．－　　　　　　　　　　 B.
C．－ D.
解析：选D.Tr＋1＝C(x2)6－r＝Cx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4.所以常数项为C＝.故选D.
2．(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数为(　　)
A．50 B．55
C．45 D．60
解析：选B.(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数是C＋C＋C＝55.故选B.
3．设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017＝(　　)
A．i B．－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：选C.x＝＝－1＋i，Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝－1＋i.
4．(2018·昆明市教学质量检测)(1＋2x)3(2－x)4的展开式中x的系数是(　　)
A．96 B．64
C．32 D．16
解析：选B.(1＋2x)3的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)r＝2rCxr，(2－x)4的展开式的通项公式为Tk＋1＝C24－k(－x)k＝(－1)k24－kCxk，所以(1＋2x)3(2－x)4的展开式中x的系数为20C·(－1)·23C＋2C·(－1)0·24C＝64，故选B.
5．设n为正整数，展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为(　　)
A．16 B．10
C．4 D．2
解析：选B.展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx2n－k＝C(－1)kx.
令＝0，得k＝，又k为正整数，所以n可取10.
6.的展开式的二项式系数之和为8，则展开式的常数项等于(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：选B.因为的展开式的各个二项式系数之和为8，所以2n＝8，解得n＝3，
所以展开式的通项为Tr＋1＝C()3－r＝2rCx，令＝0，则r＝1，所以常数项为6.
7．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选B.(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，所以a＝C.
同理，b＝C.
因为13a＝7b，所以13·C＝7·C.
所以13·＝7·.
所以m＝6.
8．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)
A．2n B.
C．2n＋1 D.
解析：选D.设f(x)＝(1＋x＋x2)n，
则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①
f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②
由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，
所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝＝.
9．C＋C＋…＋C＋…＋C(n∈N*)的值为(　　)
A．2n B．22n－1
C．2n－1 D．22n－1－1
解析：选D.(1＋x)2n＝C＋Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2n.
令x＝1，得C＋C＋C＋…＋C＋C＝22n；
再令x＝－1，得C－C＋C－…＋(－1)rC＋…－C＋C＝0.
两式相加，可得C＋C＋…＋C＝－1＝22n－1－1.
10．(2018·湖北枣阳第一中学模拟)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
解析：选C.(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30，故选C.
11．设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，那么的值为(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－1
解析：选A.令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，①
再令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35.②
，得a0＋a2＋a4＝122，，可得a1＋a3＋a5＝－121，
故＝－.
12．(2018·石家庄教学质量检测(二))若a＝2(x＋|x|)dx，则在的展开式中，x的幂指数不是整数的项共有(　　)
A．13项 B．14项
C．15项 D．16项
解析：选C.因为a＝2(x＋|x|)dx＝2[(x＋x)dx＋(x－x)dx]＝2x2|＝18，所以该二项展开式的通项Tr＋1＝C()18－r＝(－1)rCx9－ (0≤r≤18，且r∈N)，当r＝0，6，12，18时，展开式中x的幂指数为整数，所以该二项展开式中x的幂指数不是整数的项有19－4＝15项，故选C.
13．(2018·广东省五校协作体联考)展开式中不含x的项的系数为________．
解析：展开式中不含x的项为C(xy)3·＝－20y3，故不含x的项的系数为－20.
答案：－20
14．已知(1＋x)5的展开式中xr(r∈Z且－1≤r≤5)的系数为0，则r＝________.
解析：依题意，(1＋x)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cxr，故展开式为(x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1)，故可知展开式中x2的系数为0，故r＝2.
答案：2
15．(2018·江西赣州十四县联考)若的展开式中前三项的系数分别为A，B，C，且满足4A＝9(C－B)，则展开式为x2的系数为________．
解析：易得A＝1，B＝，C＝＝，所以有4＝9，即n2－7n－8＝0，解得n＝8或n＝－1(舍)．在中，因为通项Tr＋1＝Cx8－r＝·x8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，所以展开式中x2的系数为.
答案：
16．(2018·安徽“江南十校”联考)若(x＋y－1)3(2x－y＋a)5的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中只含字母x且x的次数为1的项的系数为________．
解析：令x＝y＝1⇒(a＋1)5＝32⇒a＝1，故原式＝(x＋y－1)3(2x－y＋1)5＝[x＋(y－1)]3[2x＋(1－y)]5，可知展开式中x的系数为C＋C(－1)3C·2＝－7.
答案：－7

1．487被7除的余数为a(0≤a<7)，则展开式中x－3的系数为(　　)
A．4 320 B．－4 320
C．20 D．－20
解析：选B.487＝(49－1)7＝C·497－C·496＋…＋C·49－1，
因为487被7除的余数为a(0≤a<7)，
所以a＝6，
所以展开式的通项为Tr＋1＝C·(－6)r·x6－3r，
令6－3r＝－3，可得r＝3，
所以展开式中x－3的系数为C·(－6)3＝－4 320.
2．(x＋2y)7的展开式中，系数最大的项是(　　)
A．68y7 B．112x3y4
C．672x2y5 D．1 344x2y5
解析：选C.设第r＋1项系数最大，
则有
即
即解得
又因为r∈Z，所以r＝5.所以系数最大的项为T6＝Cx2·25y5＝672x2y5.故选C.
3．(2018·张掖市第一次诊断考试)设f(x)是展开式中的中间项，若f(x)≤mx在区间上恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：的展开式中的中间项为第四项，即f(x)＝C(x2)3＝x3，因为f(x)≤mx在区间上恒成立，所以m≥x2在上恒成立，所以m≥＝5，所以实数m的取值范围是[5，＋∞)．
答案：[5，＋∞)
4．(2018·山西太原模拟)的展开式中常数项是________．
解析：表示五个相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个中分别抽取2x，2x，，，－1，则此时的常数项为C·C·22·(－1)＝－120；第二种情况是从五个中都抽取－1，则此时的常数项为(－1)5＝－1；第三种情况是从五个中分别抽取2x，，－1，－1，－1，则此时的常数项为C·C·21·(－1)3＝－40，则展开式中常数项为－120－1－40＝－161.
答案：－161
5．已知在的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
解：(1)通项公式为
Tk＋1＝Cxx－＝Cx.
因为第6项为常数项，
所以k＝5时，＝0，
即n＝10.
(2)令＝2，得k＝2，
故含x2的项的系数是C＝.
(3)根据通项公式，由题意得
令＝r(r∈Z)，
则10－2k＝3r，k＝5－r，
因为k∈N，所以r应为偶数，
所以r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，
所以第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为
Cx2，C，Cx－2.
6．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解：令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)因为a0＝C＝1，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)因为(1－2x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)
＝1 093－(－1 094)＝2 187.