2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第10章6第6讲　离散型随机变量及其分布列

第6讲　离散型随机变量及其分布列

1．离散型随机变量
(1)随机变量
特点：随着试验结果的变化而变化的变量．
表示：常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
(2)离散型随机变量的特点
所有取值可以一一列举出来．
2．离散型随机变量的分布列
(1)定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
(2)性质：
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②pi＝1.
3．常见的两类特殊分布列
(1)两点分布
若随机变量X服从两点分布，则其分布列为
X
0
1
P
1－p
p
其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，即：
X
0
1
…
m
P


…

其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．(　　)
(2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　　)
(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)
(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(　　)
(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　)
(6)由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布．(　　)
X
2
5
P
0.3
0.7
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√　(6)×
(教材习题改编)设随机变量X的分布列如下表所示，则p4的值是(　　)
X
1
2
3
4
P



p4
A.1　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D.由分布列的性质，得＋＋＋p4＝1，所以p4＝.
设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)
A．0 B.
C. D.
解析：选C.设X的分布列为
X
0
1
P
p
2p
即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功．由p＋2p＝1，得p＝，故应选C.
设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5，则P＝________．
解析：P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
答案：
在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X的分布列为________．
解析：由题意知，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，所以分布列为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3.
答案：P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3

离散型随机变量的分布列的性质
[典例引领]
设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)P(1＜X≤4)．
【解】　由分布列的性质知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，
解得m＝0.3.
(1)2X＋1的分布列：
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)P(1＜X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.1＋0.3＋0.3＝0.7.

在本例条件下，求|X－1|的分布列．
解：|X－1|的分布列：
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3

离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；
(2)若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．　
设随机变量X等可能地取1，2，3，…，n，若P(X＜4)＝0.3，则n的值为(　　)
A．3　　　　　　　　　 B．4
C．10 D．不确定
解析：选C.“X＜4”的含义为X＝1，2，3，所以P(X＜4)＝＝0.3，所以n＝10.
离散型随机变量的分布列
(高频考点)
离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对离散型随机变量分布列的考查有以下三个命题角度：
(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列；
(2)古典概型的离散型随机变量的分布列；
(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)
[典例引领]
角度一　用频率代替概率的离散型随机变量的
分布列
某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．
(1)求当天商店不进货的概率；
(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．
【解】　(1)P(当天商店不进货)
＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝＋＝.
(2)由题意知，X的可能取值为2，3.
P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝；
P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝＋＋＝.
所以X的分布列为
X
2
3
P


角度二　古典概型的离散型随机变量的分布列
(2017·高考山东卷节选)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
【解】　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，
则P(M)＝＝.
(2)由题意知X可取的值为：0，1，2，3，4，则
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为

X
0
1
2
3
4
P






离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．
[提醒]　求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．　
某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．
(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；
(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X，求X的分布列．
解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为＝，
则≥，
化简得n2－25n＋144≤0，解得9≤n≤16，
故n的最大值为16.
(2)由题意得，X的可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
X的分布列为
X
0
1
2
P



超几何分布
[典例引领]
一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.
(1)求白球的个数；
(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．
【解】　(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，
设袋中白球的个数为x，
则P(A)＝1－＝，得到x＝5.
故白球有5个．
(2)X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，
P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3.
于是可得其分布列为
X
0
1
2
3
P





超几何分布的特点
(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；
(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．　
[通关练习]
1．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C.如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.
2．第二十八届亚洲男篮锦标赛在长沙举行，为了做好亚锦赛期间的接待服务工作，长沙大学学生实践活动中心从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加亚锦赛的志愿者服务活动．若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列．
解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从超几何分布．X的所有可能取值为0，1，2，3，其中P(X＝i)＝(i＝0，1，2，3)．
由公式可得P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P





对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．
求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．
易错防范
(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．
(2)对于分布列易忽视其性质p1＋p2＋…＋pn＝1及pi≥0(i＝1，2，…，n)，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．

1．设随机变量X的概率分布列如下表所示：
X
0
1
2
P
a


若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1，2)时，F(x)等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D.由分布列的性质，得a＋＋＝1，所以a＝.而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝＋＝.
2．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于的是(　　)
A．P(X＝2) B．P(X≤2)
C．P(X＝4) D．P(X≤4)
解析：选C.X服从超几何分布，P(X＝k)＝，故k＝4，故选C.
3．抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________．
解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，
其中X＝2对应(1，1)；X＝3对应(1，2)，(2，1)；X＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝.
答案：
4．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．
解析：设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，所以a＝，
由得－≤d≤.
答案：
5．抛掷一枚质地均匀的硬币3次．
(1)写出正面向上次数X的分布列；
(2)求至少出现两次正面向上的概率．
解：(1)X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P




(2)至少出现两次正面向上的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.
6．(2018·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．
解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.
P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)．
所以随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P




7.为了了解高一学生的体能情况，某校随机抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知次数在[100，110)间的频数为7，次数在110以下(不含110)视为不达标，次数在[110，130)间的视为达标，次数在130以上视为优秀．

(1)求此次抽样的样本总数为多少人？
(2)在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？
(3)将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为15分，达标成绩记为10分，不达标成绩记为5分，现在从该校高一学生中随机抽取2人，他们的分值和记为X，求X的分布列．
解：(1)设样本总数为n，
由频率分布直方图可知：次数在[100，110)间的频率为：0.014×10＝0.14，
所以＝0.14，解得n＝50.
(2)记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事件为B，抽中优秀学生的事件为A.
P(C)＝0.006×10＋0.014×10＝0.20；
P(B)＝0.028×10＋0.022×10＝0.50；
P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.30.
(3)在高一学生中随机抽取2名学生的成绩和X＝10，15，20，25，30.
P(X＝10)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝15)＝2×0.2×0.5＝0.2；P(X＝20)＝0.52＋2×0.2×0.3＝0.37；
P(X＝25)＝2×0.3×0.5＝0.3；P(X＝30)＝0.32＝0.09.
X的分布列为
X
10
15
20
25
30
P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09

1．(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)下图是某市11月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择11月1日至12日中的某一天到达该市，并停留3天．

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；
(2)设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列．
解：设Ai表示事件“此人于11月i日到达该市”(i＝1，2，…，12)．依题意知，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝∅(i≠j)．
(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12，所以P(B)＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A7)＋P(A12)＝.
即此人到达当日空气重度污染的概率为.
(2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
P(ξ＝0)＝P(A4∪A8∪A9)＝P(A4)＋P(A8)＋P(A9)＝＝，
P(ξ＝2)＝P(A2∪A11)＝P(A2)＋P(A11)＝＝，
P(ξ＝3)＝P(A1∪A12)＝P(A1)＋P(A12)＝＝，
P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－－＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P




2.(2018·陕西省高三教学质量检测试题(一))私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行的方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表：
年龄
(岁)
[15，25)
[25，35)
[35，45)
[45，55)
[55，65)
[65，75)
频数
5
10
15
10
5
5
赞成
人数
4
6
9
6
3
4
(1)若从年龄在[15，25)和[25，35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；
(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
解：(1)由表知，年龄在[15，25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为
P＝·＋·＝×＋×＝.
(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝·＝×＝，
P(ξ＝1)＝·＋·＝×＋×＝，
P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝·＝×＝，
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
3
P