2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第12章1第1讲　数系的扩充与复数的引入



知识点
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复 数
理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件．
了解复数的代数表示法及其几何意义．
会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
算法与程序框图
了解算法的含义，了解算法的思想．
理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环；理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．
合理推理与演绎推理
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．
了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
直接证明与间接证明
了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．
数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
第1讲　数系的扩充与复数的引入


1．复数的有关概念
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．
(2)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a、b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量．
3．复数的运算
(1)复数的加、减 、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∈C，则a2≥0.(　　)
(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　)
(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　)
(4)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　)
(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也能比较大小．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
(2017·高考全国卷Ⅱ)＝(　　)
A．1＋2i　　　　　　　　 B．1－2i
C．2＋i D．2－i
解析：选D.＝＝＝2－i，选择D.
(2017·高考北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
解析：选B.因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1，1－a)，又此点在第二象限，所以解得a<－1，故选B.
(教材习题改编)在复平面内，已知6＋5i对应的向量为，＝(4，5)，则对应的复数为________．
解析：＝(6，5)，＝(4，5)，
则＝＋＝(10，10)．
答案：10＋10i
(教材习题改编)已知(1＋2i) ＝4＋3i，则z＝________．
解析：因为＝＝
＝＝2－i，所以z＝2＋i.
答案：2＋i

复数的有关概念
[典例引领]
(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D．2
(2)(2017·高考天津卷)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．
【解析】　(1)z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝.
(2)由＝＝－i是实数，得－＝0，所以a＝－2.
【答案】　(1)C　(2)－2

解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．　
[通关练习]
1．(2018·合肥市第一次教学质量检测)已知复数z＝(i为虚数单位)，那么z的共轭复数为(　　)
A.＋i　　　　　　　　　 B.－i
C.＋i D.－i
解析：选B.z＝＝＝＋i，所以z的共轭复数为－i，故选B.
2．(2018·陕西省高三教学质量检测试题(一))设(a＋i)2＝bi，其中a，b均为实数．若z＝a＋bi，则|z|＝(　　)
A．5　　　　B. C．3　　　　D.
解析：选B.由(a＋i)2＝bi得a2－1＋2ai＝bi，所以，即，故复数z＝a＋bi的模|z|＝＝＝，选B.
复数的几何意义
[典例引领]
(1)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i(i为虚数单位)，则z1z2＝(　　)
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
(2)若复数z满足|z－i|≤(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________．
【解析】　(1)因为复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤得|x＋(y－1)i|≤，所以≤，所以x2＋(y－1)2≤2，所以z在复平面内所对应的图形是以点(0，1)为圆心，以为半径的圆及其内部，它的面积为2π.
【答案】　(1)A　(2)2π

复数的几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．　
[通关练习]
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3，1) B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
解析：选A.由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m＋3，m－1)，所以解得－3＜m＜1，故选A.
2. (2018·宝鸡九校联考)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1·z2对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D.由已知＝(－2，－1)，＝(0，1)，
所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，
它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．
复数代数形式的运算
[典例引领]
(1)(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则＝(　　)
A．1 B．0
C．1＋i D．1－i
(2)(2018·武汉市武昌区调研)已知(－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i是虚数单位，是z的共轭复数)，则z的虚部为(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
【解析】　(1)z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，
则有a2－1＝0，a＋1≠0，
得a＝1，
则有＝＝＝1－i.
(2)因为＝＋1－3i＝＋1－3i＝1＋2i＋1－3i＝2－i，
所以z＝2＋i，z的虚部为1，故选A.
【答案】　(1)D　(2)A

复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．　
计算下列各式的值：
(1)；(2)；(3)＋i3.
解：(1)＝＝＝2i.
(2)＝＝2－i.
(3)＋i3＝＋i3＝＋i3＝i－i＝0.

复数的运算技巧
(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．
(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．
复数代数运算中常用的几个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
辨明三个易误点
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．

1．(2017·高考山东卷)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a＝(　　)
A．1或－1　　　　　　　　 B.或－
C．－ D.
解析：选A.法一：由题意可知＝a－i，所以z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
法二：z·＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.
2．(2018·商丘模拟)已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝(　　)
A．－7 B．7
C．－4 D．4
解析：选A.因为＝1＋＋＝－3－4i，
所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，
所以a＋b＝－7，故选A.
3．(2018·河南洛阳模拟)设复数z满足＝|1－i|＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)
A.－i B.＋i
C．1 D．－1－2i
解析：选A.复数z满足＝|1－i|＋i＝＋i，则复数z＝－i.故选A.
4．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2－＝(　　)
A．1＋3i B．1－3i
C．－1＋3i D．－1－3i
解析：选C.因为z＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，＝＝＝＝＝1－i，则z2－＝2i－(1－i)＝－1＋3i.故选C.
5．(2018·福建宁德模拟)在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)对应的点的坐标是(　　)
A．(1，4) B．(4，－1)
C．(4，1) D．(－1，4)
解析：选C.因为z＝＝＝＝4＋i，所以在复平面内，复数z对应的点的坐标是(4，1)，故选C.
6．设z＝＋i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选B.因为z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，所以|z|＝＝.
7．(2018·湖南省东部六校联考)已知i是虚数单位，设复数z1＝1＋i，z2＝1＋2i，则在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.由题可得，＝＝＝－i，对应在复平面上的点的坐标为，在第四象限．
8．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)
A．－4 B．－
C．4 D.
解析：选D.因为|4＋3i|＝＝5，所以z＝＝＝＝＋i，所以z的虚部为.
9．(2018·兰州市高考实战模拟)已知i是虚数单位，若复数(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：选B.＝＝，又复数的实部与虚部相等，所以＝－，解得a＝0.故选B.
10．(2018·福建省普通高中质量检查)若复数z满足(1＋i)z＝|＋i|，则在复平面内，对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.由题意，得z＝＝＝1－i，所以＝1＋i，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A.
11．(2018·成都市第二次诊断性检测)若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.因为(x－2)＋yi是虚数，
所以y≠0，
又因为|(x－2)＋yi|＝，
所以(x－2)2＋y2＝3.
因为是复数x＋yi对应点的斜率，
所以＝tan∠AOB＝，
所以的最大值为.
12．(2017·高考全国卷Ⅰ)设有下面四个命题
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2；
p4：若复数z∈R，则z∈R.
其中的真命题为(　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：选B.设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，因为＝＝∈R，所以b＝0，所以z∈R，所以p1是真命题；对于p2，因为z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，所以ab＝0，所以a＝0或b＝0，所以p2不是真命题；对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，所以dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠2，所以p3不是真命题；对于p4，因为z＝a＋bi∈R，所以b＝0，所以＝a－bi＝a∈R，所以p4是真命题．故选B.
13．(2017·高考江苏卷)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．
解析：法一：复数z＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，则|z|＝＝.
法二：|z|＝|1＋i|·|1＋2i|＝×＝.
答案：
14．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则m＝________．
解析：z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.
答案：－5
15．(2018·辽宁师大附中期中)设复数z的共轭复数为，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2的虚部为________．
解析：因为z＝1－i(i为虚数单位)，
所以＋z2＝＋(1－i)2＝－2i＝－2i＝－i.故其虚部为－1.
答案：－1
16．当复数z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)的模最小时，＝________．
解析：|z|＝
＝＝，
所以当m＝－1时，|z|min＝2，
所以＝＝＝－1＋i.
答案：－1＋i

1．已知复数z＝(cos θ－isin θ)(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是(　　)
A．θ＝ B．θ＝
C．θ＝ D．θ＝
解析：选C.z＝(cos θ－isin θ)(1＋i)＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i.z是纯虚数等价于等价于θ＝＋kπ，k∈Z.故选C.
2．若实数a，b，c满足a2＋a＋bi<2＋ci(其中i2＝－1)，集合A＝{x|x＝a}，B＝{x|x＝b＋c}，则A∩∁RB为(　　)
A．∅
B．{0}
C．{x|－2 D．{x|－2 解析：选D.由于只有实数间才能比较大小．故a2＋a＋bi<2＋ci⇔解得因此A＝{x|－2 3．－3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一个根，且p，q∈R，则p＋q＝________．
解析：由题意得2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0，
即2(5－12i)－3p＋2pi＋q＝0，
即(10－3p＋q)＋(－24＋2p)i＝0，
所以所以p＝12，q＝26，所以p＋q＝38.
答案：38
4．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应点的坐标为________．
解析：因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2 018＝4×504＋2，
所以z＝＝＝
＝＝＝i，对应的点为(0，1)．
答案：(0，1)
5．计算：(1)；
(2)＋；
(3).
解：(1)＝
＝＝＝＋i.
(2)＋＝＋＝＋＝－1.
(3)＝＝＝
＝－－i.
6．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若z1＋z2是实数，求实数a的值．
解：z1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i
＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i
＝＋(a2＋2a－15)i.
因为1＋z2是实数，
所以a2＋2a－15＝0，
解得a＝－5或a＝3.
因为a＋5≠0，
所以a≠－5，故a＝3.