2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第12章4第4讲　直接证明与间接证明

第4讲　直接证明与间接证明

1．直接证明
直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．
(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．
(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
分析法又称为：执果索因法(逆推证法)．
2．间接证明
反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
3．证题的三种思路
(1)综合法证题的一般思路
用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．
(2)分析法证题的一般思路
分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．
(3)反证法证题的一般思路
反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．(　　)
(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)
(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　)
(4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(　　)
(5)常常用分析法寻找解题的思路与方法，用综合法展现解决问题的过程．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
下列表述：
①综合法是由因导果法；
②综合法是顺推法；
③分析法是执果索因法；
④分析法是逆推法；
⑤反证法是间接证法．其中正确的有(　　)
A．2个　 　　B．3个 C．4个　　 　D．5个
解析：选D.由分析法、综合法、反证法的定义知①②③④⑤都正确．
(教材习题改编)设m＝1＋，n＝2，则m与n的大小关系是(　　)
A．m＞n B．m≥n
C．m＜n D．m≤n
解析：选C.法一：m2－n2＝(1＋)2－(2)2＝4＋2－8＝2－4＝－＜0，又m＞0，n＞0.所以m＜n，故选C.
法二：假设m≥n，即1＋≥2.则有(1＋)2≥(2)2，即4＋2≥8，即2≥4，即≥2，即3≥4，显然错误，所以m＜n，故选C.
用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________________________________________________________________________．
答案：三角形三个内角都大于60°
在不等边三角形中，a为最大边，要想得到边a的对角A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________．
解析：由余弦定理cos A＝<0，所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.
答案：a2>b2＋c2

综合法
[典例引领]
如图，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．
(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1.
(2)求证：A1B∥平面ADC1.
【证明】　(1)因为AB＝AC，D为BC的中点，
所以AD⊥BC，
因为平面ABC⊥平面BCC1B1，
平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AD⊂平面ABC，
所以AD⊥平面BCC1B1，
因为DC1⊂平面BCC1B1，
所以AD⊥DC1.
(2)连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点，
因为D为BC的中点，所以OD∥A1B，
因为OD⊂平面ADC1，
A1B⊄平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1.

综合法的证题思路
(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．
(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．　
在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bx＋ycos A＋cos B＝0与ax＋ycos B＋cos A＝0平行，求证：△ABC是直角三角形．
证明：法一：由两直线平行可知bcos B－acos A＝0，由正弦定理可知sin Bcos B－sin Acos A＝0，即sin 2B－sin 2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.若A＝B，则a＝b，cos A＝cos B，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝，即△ABC是直角三角形．
法二：由两直线平行可知bcos B－acos A＝0，
由余弦定理，得a·＝b·，
所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，
所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.
若a＝b，则两直线重合，不符合题意，
故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．
分析法
[典例引领]
已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．
【解】　(1)由Sn＝，得a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合，
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2.
(2)证明：要使得a1，an，am成等比数列，只需要a＝a1·am，
即(3n－2)2＝1·(3m－2)，即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m＞n，所以对任意的n＞1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列．

分析法的证题思路
先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．
[提醒]　要注意书写格式的规范性．　
△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝.
证明：要证＋＝，
即证＋＝3，也就是证＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2.
又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos 60°，
即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立．
反证法
[典例引领]
设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：
(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．
【证明】　由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.
(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0 同理，0 故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．

用反证法证明数学命题需把握的三点
(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；
(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；
(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．　
设{an}是公比为q的等比数列．
(1)推导{an}的前n项和公式；
(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
解：(1)设{an}的前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；
当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②
①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，
所以Sn＝，所以Sn＝
(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，
(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，
即a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，
aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1.
因为a1≠0，所以2qk＝qk－1＋qk＋1.
因为q≠0，所以q2－2q＋1＝0，所以q＝1，这与已知矛盾．
所以假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．

分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
易错防范
(1)用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论．
(2)在使用反证法证明数学命题时，反设必须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等．


1．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：选A.依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.
2．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是(　　)
A．x2>2　　　　　　　　　 B．x2>4
C．x2>0 D．x2>1
解析：选C.因为x>0，所以要证<1＋，只需证()2<，即证0<，即证x2>0，因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立．
3．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(　　)
A．lg(1＋a2)>0　　　　　　 B．a2＋b2≥2(a－b－1)
C．a2＋3ab>2b2 D.<
解析：选B.在B中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．
4．在△ABC中，sin Asin C＜cos Acos C，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
解析：选C.由sin Asin C＜cos Acos C得
cos Acos C－sin Asin C＞0，
即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是锐角，
从而B＞，故△ABC必是钝角三角形．
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
解析：选A.由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1) 6．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．
解析：“x≠a且x≠b”的否定是“x＝a或x＝b”，因此应假设为x＝a或x＝b.
答案：x＝a或x＝b
7．(2018·福州模拟)如果a＋b＞a＋b，则a，b应满足的条件是__________．
解析：a＋b＞a＋b，即(－)2(＋)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.
答案：a≥0，b≥0且a≠b
8．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．
解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，
所以cn随n的增大而减小，所以cn＋1 答案：cn＋1 9．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
证明：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)
＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，
从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.
10．已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象在交点(0，0)处有公共切线．
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤g(x)．
解：(1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，
由题意得解得a＝0，b＝1.
(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)
＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x>－1)．
h′(x)＝－x2＋x－1＝.
h(x)在(－1，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．
h(x)max＝h(0)＝0，所以h(x)≤h(0)＝0，
即f(x)≤g(x)．

1．已知a，b，c∈R，若·>1且＋≥－2，则下列结论成立的是(　　)
A．a，b，c同号
B．b，c同号，a与它们异号
C．a，c同号，b与它们异号
D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定
解析：选A.由·>1知与同号，
若>0且>0，不等式＋≥－2显然成立，
若<0且<0，则－>0，－>0，
＋≥2 >2，即＋<－2，
这与＋≥－2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同号．
2．在等比数列{an}中，a1 A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.当a1 由a1 若a1>0，则11，
此时，显然数列{an}是递增数列，
若a1<0，则1>q>q2，即0 此时，数列{an}也是递增数列，
反之，当数列{an}是递增数列时，显然a1 故a1 3．sin α与sin β分别是sin θ与cos θ的等差中项与等比中项，则cos 4β－4cos 4α＝________．
解析：由题意得2sin α＝sin θ＋cos θ，
sin2β＝sin θcos θ，
所以cos 4β－4cos 4α
＝2cos22β－1－4(2cos22α－1)
＝2(1－2sin2β)2－8(1－2sin2α)2＋3
＝2(1－2sin θcos θ)2－8＋3
＝2(sin θ－cos θ)4－2(sin θ－cos θ)4＋3＝3.
答案：3
4．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；
④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)
解析：若a＝，b＝，则a＋b＞1，
但a＜1，b＜1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
答案：③
5．已知等差数列{an}中，首项a1>0，公差d>0.
(1)若a1＝1，d＝2，且，，成等比数列，求整数m的值；
(2)求证：对任意正整数n，，，都不成等差数列．
解：(1)由题意，得·＝，(a)2＝(a1am)2，因为a1＝1，d＝2，
所以a＝a1am，49＝1＋(m－1)·2，解得m＝25.
(2)证明：假设，，成等差数列，
则＋＝，即－＝－，
＝，
所以a(an＋1＋an＋2)＝a(an＋an＋1)，
a(2an＋3d)＝(an＋2d)2(2an＋d)，
即2d(3a＋6and＋2d2)＝0，①
因为a1>0，d>0，
所以an＝a1＋(n－1)d>0，
故2d(3a＋6and＋2d2)>0这与①式矛盾，
所以假设不成立．
即对任意正整数n，，，都不成等差数列．
6．若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a＜b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数．
(1)设g(x)＝x2－x＋是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；
(2)是否存在常数a，b(a＞－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，
所以函数在区间[1，b]上单调递增，由“四维光军”函数的定义可知 ，g(1)＝1，g(b)＝b，
即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b＞1，所以b＝3.
(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a＞－2)上是“四维光军”函数，
因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有即
解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．