2021年高考数学一轮精选练习：09《对数与对数函数》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：09《对数与对数函数》一         、选择题1.函数f(x)=的定义域是(　  　)A.        B.∪(0，＋∞)C.        D.[0，＋∞) 2.设a=60.4，b=log0.40.5，c=log80.4，则a，b，c的大小关系是(　 　)A.a＜b＜c      B.c＜b＜a      C.c＜a＜b      D.b＜c＜a 3.若函数y=(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则loga＋loga=(　 　)A.1       B.2        C.3        D.4 4.已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1=0的两个实根，则lg(ab)·2=(  　)A.2         B.4            C.6          D.8 5.已知f(x)满足对∀x∈R，f(－x)＋f(x)=0，且当x≤0时，f(x)=＋k(k为常数)，则f(ln5)的值为(　 　)A.4          B.－4            C.6          D.－6 6.函数f(x)=xa满足f(2)=4，那么函数g(x)=|loga(x＋1)|的图象大致为(　 　) 7.已知函数f(x)=ex＋2(x＜0)与g(x)=ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是(　 　)A.(－∞，e)    B.(0，e)       C.(e，＋∞)    D.(－∞，1) 8.已知函数f(x)=(ex－e－x)x，f(log5x)＋f(log0.2x)≤2f(1)，则x的取值范围是(　 　)A.[0.2,1]      B.[1,5]      C.[0.2,5]        D.(-∞,0.2]∪[5，＋∞) 9.已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数.对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则(　　)A.a＜b＜c     B.b＜a＜c        C.c＜a＜b      D.c＜b＜a10.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2＋x)=f(2－x)，当x∈[－2,0]时，f(x)=x－1，若在区间(－2,6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)=0(a＞0且a≠1)恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是(　D　)A.(0.25,1)      B.(1,4)          C.(1,8)        D.(8，＋∞) 二         、填空题11.函数f(x)=log2·log(2x)的最小值为         .12.已知函数f(x)=|log3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f(m)=f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则=          _. 13.已知函数f(x)=ln(x＋)，g(x)=f(x)＋2 017，下列命题：①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；②f(x)是奇函数；③f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；④若实数a，b满足f(a)＋f(b－1)=0，则a＋b=1；⑤设函数g(x)在[－2 017,2 017]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m=2 017.其中真命题的序号是              .(写出所有真命题的序号) 三         、解答题14.设f(x)=loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，a≠1)，且f(1)=2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间[0,1.5]上的最大值.             15.已知函数f(x)=loga(a2x＋t)，其中a＞0且a≠1.(1)当a=2时，若f(x)＜x无解，求t的取值范围；(2)若存在实数m，n(m＜n)，使得x∈[m，n]时，函数f(x)的值域也为[m，n]，求t的取值范围.         16.已知函数f(x)=ln.(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2,6]，f(x)=ln＞ln恒成立，求实数m的取值范围.            
答案解析1.答案为：B；解析：由解得x＞－且x≠0，故选B. 2.答案为：B；解析：∵a=60.4＞1，b=log0.40.5∈(0,1)，c=log80.4＜0，∴a＞b＞c.故选B. 3.答案为：D；解析：若a＞1，则y=在[0,1]上单调递减，则解得a=2，此时，loga＋loga=log216=4；若0＜a＜1，则y=在[0,1]上单调递增，则无解，故选D. 4.答案为：B；解析：由已知，得lga＋lgb=2，即lg(ab)=2.又lga·lgb=，所以lg(ab)·2=2(lga－lgb)2=2[(lga＋lgb)2－4lga·lgb]=2×=2×2=4，故选B. 5.答案为：B；解析：易知函数f(x)是奇函数，故f(0)=＋k=1＋k=0，即k=－1，所以f(ln5)=－f(－ln5)=－(eln5－1)=－4. 6.答案为：C；解析：∵f(2)=4，∴2a=4，解得a=2，∴g(x)=|log2(x＋1)|=∴当x≥0时，函数g(x)单调递增，且g(0)=0；当－1＜x＜0时，函数g(x)单调递减，故选C. 7.答案为：A；解析：由题意知，方程f(－x)－g(x)=0在(0，＋∞)上有解，即e－x－ln(x＋a)=0在(0，＋∞)上有解，即函数y=e－x与y=ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点，则lna＜1，即0＜a＜e，则a的取值范围是(0，e)，当a≤0时，y=e－x与y=ln(x＋a)的图象总有交点，故a的取值范围是(－∞，e)，故选A. 8.答案为：C；解析：∵f(x)=(ex－e－x)x，∴f(－x)=－x(e－x－ex)=(ex－e－x)x=f(x)，∴函数f(x)是偶函数.∵f′(x)=(ex－e－x)＋x(ex＋e－x)＞0在(0，＋∞)上恒成立.∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.∵f(log5x)＋f(logx)≤2f(1)，∴2f(log5x)≤2f(1)，即f(log5x)≤f(1)，∴|log5x|≤1，∴0.2≤x≤5.故选C. 9.答案为：B；解析：已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，故x1－x2与x2f(x1)－x1f(x2)同号，则x1－x2与同号，∴函数y=是(0，＋∞)上的增函数，∵1＜30.2＜2,0＜0.32＜1，log25＞2，∴0.32＜30.2＜log25，∴b＜a＜c，故选B. 10.答案为：D；解析：依题意得f(x＋2)=f(－(2－x))=f(x－2)，即f(x＋4)=f(x)，则函数f(x)是以4为周期的函数，结合题意画出函数f(x)在x∈(－2,6)上的图象与函数y=loga(x＋2)的图象，结合图象分析可知.要使f(x)与y=loga(x＋2)的图象有4个不同的交点，则有由此解得a＞8，即a的取值范围是(8，＋∞). 11.答案为：-0.25；解析：依题意得f(x)=log2x·(2＋2log2x)=(log2x)2＋log2x=2－≥－，当且仅当log2x=－，即x=时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－. 12.答案为：9；解析：f(x)=|log3x|=所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m＜n且f(m)=f(n)，可得则所以0＜m2＜m＜1，则f(x)在[m2,1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m2)＞f(m)=f(n)，则f(x)在[m2，n]上的最大值为f(m2)=－log3m2=2，解得m=，则n=3，所以=9. 13.答案为：①②③④；解析：对于①，∵＞=|x|≥－x，∴＋x＞0，∴f(x)的定义域为R，∴①正确.对于②，f(x)＋f(－x)=ln(x＋)＋ln(－x＋)=ln[(x2＋1)－x2]=ln1=0.∴f(x)是奇函数，∴②正确.对于③，令u(x)=x＋，则u(x)在[0，＋∞)上单调递增.当x∈(－∞，0]时，u(x)=x＋=，而y=－x在(－∞，0]上单调递减，且－x＞0.∴u(x)=在(－∞，0]上单调递增，又u(0)=1，∴u(x)在R上单调递增，∴f(x)=ln(x＋)在R上单调递增，∴③正确.对于④，∵f(x)是奇函数，而f(a)＋f(b－1)=0，∴a＋(b－1)=0，∴a＋b=1，∴④正确.对于⑤，f(x)=g(x)－2 017是奇函数，当x∈[－2 017,2 017]时，f(x)max=M－2 017，f(x)min=m－2 017，∴(M－2 017)＋(m－2 017)=0，∴M＋m=4 034，∴⑤不正确. 14.解：(1)∵f(1)=2，∴loga4=2(a＞0，a≠1)，∴a=2.由得－1＜x＜3，∴函数f(x)的定义域为(－1,3).(2)f(x)=log2(1＋x)＋log2(3－x)=log2[(1＋x)(3－x)]=log2[－(x－1)2＋4]，∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在[0,1.5]上的最大值是f(1)=log24=2. 15.解：(1)∵log2(22x＋t)＜x=log22x，∴22x＋t＜2x无解，等价于22x＋t≥2x恒成立，即t≥－22x＋2x=g(x)恒成立，即t≥g(x)max，∵g(x)=－22x＋2x=－2＋，∴当2x=，即x=－1时，g(x)取得最大值，∴t≥，故t的取值范围是.(2)由题意知f(x)=loga(a2x＋t)在[m，n]上是单调增函数，∴即问题等价于关于k的方程a2k－ak＋t=0有两个不相等的实根，令ak=u＞0，则问题等价于关于u的二次方程u2－u＋t=0在u∈(0，＋∞)上有两个不相等的实根，即即得0＜t＜.∴t的取值范围为(0,0.25). 16.解：(1)由＞0，解得x＜－1或x＞1，∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)=ln=ln=ln－1=－ln=－f(x).∴f(x)=ln是奇函数.(2)由于x∈[2,6]时，f(x)=ln＞ln恒成立，∴＞＞0，∵x∈[2,6]，∴0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2,6]上恒成立.令g(x)=(x＋1)(7－x)=－(x－3)2＋16，x∈[2,6]，由二次函数的性质可知，x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，x∈[3,6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2,6]时，g(x)min=g(6)=7，∴0＜m＜7.故实数m的取值范围为(0,7).