2021年高考数学一轮精选练习：18《任意角和弧度制及任意角的三角函数》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：18《任意角和弧度制及任意角的三角函数》一         、选择题1.给出下列四个命题：①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有(　 　)A.1个         B.2个          C.3个         D.4个 2.点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为(　 　)A.       B.C.      D. 3.已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α=，则点P的坐标为(　 　)A.(1，)        B.(，1)    C.(，)       D.(1,1) 4.若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是(　 　)A.第一象限角     B.第二象限角     C.第三象限角     D.第四象限角 5.已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是(　 　)A.若α，β是第一象限的角，则cosα＞cosβB.若α，β是第二象限的角，则tanα＞tanβC.若α，β是第三象限的角，则cosα＞cosβD.若α，β是第四象限的角，则tanα＞tanβ 6.一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是(　 　)A.1          B.2         C.3          D.4 7.角α的终边与直线y=3x重合，且sinα＜0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|=(O为坐标原点)，则m－n等于(　 　)A.2        B.－2         C.4        D.－4 8.角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tanα=－；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tanβ=－2.对于下列结论：①P；②|PQ|2=；③cos∠POQ=－；④△POQ的面积为.其中正确结论的编号是(　 　)A.①②③       B.①②④        C.②③④       D.①③④ 二         、填空题9.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是          . 10.已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα=－，则＋=       .11.一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为        . 12.在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P(x,1)(x≥1)，则cosθ＋sinθ的取值范围是         . 13.设A，B，C为△ABC的三个内角，则下列关系式中恒成立的是       (填写序号).①cos(A＋B)=cosC；②cos=sin；③sin(2A＋B＋C)=－sinA. 14.若角α的终边落在直线y=x上，角β的终边与单位圆交于点，且sinα·cosβ＜0，则cosα·sinβ=          . 15.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，的坐标为     .16.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积=×(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是      平方米.(结果保留整数，≈1.73)答案解析1.答案为：C；解析：－是第三象限角，故①错误.=π＋，从而是第三象限角，②正确.－400°=－360°－40°，从而③正确.－315°=－360°＋45°，从而④正确. 2.答案为：A；解析：点P旋转的弧度数也为，由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x=cos=－，y=sin=. 3.答案为：D；解析：设P(x，y)，则sinα==sin，∴y=1.又cosα==cos，∴x=1，∴P(1,1). 4.答案为：C；解析：由sinαtanα＜0可知sinα，tanα异号，则α为第二象限角或第三象限角.由＜0可知cosα，tanα异号，则α为第三象限角或第四象限角.综上可知，α为第三象限角. 5.答案为：C；解析：如图，当α在第四象限时，作出α，β的正弦线M1P1，M2P2和正切线AT1，AT2，观察知当sinα＞sinβ时，tanα＞tanβ. 6.答案为：C；解析：设扇形的中心角的弧度数为θ，半径为R，由题意，得所以θ=3，即该扇形中心角的弧度数是3.故选C. 7.答案为：A；解析：因为角α的终边与直线y=3x重合，且sinα＜0，所以角α的终边在第三象限.又P(m，n)是角α终边上一点，故m＜0，n＜0，又|OP|=，所以所以故m－n=2.故选A. 8.答案为：B；解析：因为tanα=－，α为钝角，所以sinα=，cosα=－，又因为P，所以P，所以①正确；同理，Q，所以|PQ|2=，所以②正确；由余弦定理得cos∠POQ=－，所以③错误；sin∠POQ=，所以S△POQ=×1×1×=，所以④正确，故选B.9.答案为：S1=S2；解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则弧AQ=AP=tm，根据切线的性质知OA⊥AP，∴S1=tm·r－S扇形AOB，S2=tm·r－S扇形AOB，∴S1=S2恒成立. 10.答案为：－.解析：∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα=－，∴cosα==－，解得x=或x=－(舍去)，∴P，∴sinα=－，∴tanα==，则＋=－＋=－. 11.答案为：；解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，则=，∴α=.∴扇形的弧长与圆周长之比为==. 12.答案为：(1， ]；解析：角θ的终边经过点P(x,1)(x≥1)，∴r=，cosθ==，sinθ==，∴cosθ＋sinθ=＋=====.∵x＋≥2，当且仅当x=1时取等号，∴1＜cosθ＋sinθ≤.故cosθ＋sinθ的取值范围是(1， ]. 13.答案为：②③；解析：因为A，B，C是△ABC的内角，所以A＋B＋C=π，=.所以cos(A＋B)=cos(π－C)=－cosC，cos=cos=sin，sin(2A＋B＋C)=sin(A＋π)=－sinA.故②③恒成立. 14.答案为：±.解析：由角β的终边与单位圆交于点，得cosβ=，又由sinα·cosβ＜0知sinα＜0，因为角α的终边落在直线y=x上，所以角α只能是第三象限角.记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x＜0，y＜0)，则|OP|=1(O为坐标原点)，即x2＋y2=1，又由y=x得x=－，y=－，所以cosα=x=－.因为点在单位圆上，所以2＋m2=1，得m=±，所以sinβ=±.所以cosα·sinβ=±. 15.答案为：(2－sin2,1－cos2)；解析：如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧=2，即圆心角∠PCA=2，则∠PCB=2－，所以PB=sin=－cos2，CB=cos=sin2，设点P(xP，yP)，所以xP=2－CB=2－sin2，yP=1＋PB=1－cos2，所以=(2－sin2,1－cos2). 16.答案为：20；解析：如图，由题意可得∠AOB=，OA=6，所以在Rt△AOD中，∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=×6=3，可得CD=6－3=3.由AD=AO·sin=6×=3，可得AB=2AD=2×3=6.所以弧田面积S=(弦×矢＋矢2)=×(6×3＋32)=9＋4.5≈20(平方米).