2021年高考数学一轮精选练习：31《等差数列及其前n项和》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：31《等差数列及其前n项和》一         、选择题1.在等差数列{an}中，a1=1，a2＋a6=10，则a7=(　 　)A.9         B.10           C.11         D.12 2.在等差数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋5=0的根，则S17的值是(   　)A.41       B.51        C.61       D.68 3.已知在等差数列{an}中，a1=1，a3=2a＋1，a5=3a＋2，若Sn=a1＋a2＋…＋an，且Sk=66，则k的值为(　 　)A.9          B.11          C.10         D.12 4.在等差数列{an}中，已知a3＋a8＞0，且S9＜0，则S1、S2、…、S9中最小的是(　 　)A.S5        B.S6                 C.S7         D.S8 5.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得　钱(　 　)A.         B.           C.         D. 6.在各项均为正数的等差数列{an}中，其前n项和为Sn，当n∈N*，n≥2时，有Sn=(a－a)，则S20－2S10=(　A　)A.50         B.－50           C.100         D.－100 7.已知函数f(x)的图象关于直线x=－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)=f(a51)，则数列{an}的前100项的和为(　 　)A.－200       B.－100          C.－50          D.0 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，a2a4=21，数列{bn}满足＋＋…＋=1－(n∈N*)，若bn＜，则n的最小值为(　 　)A.6         B.7            C.8         D.9 9.已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3=S8，给出下列结论：①a10=0；②S10最小；③S7=S12；④S20=0.其中一定正确的结论是(　)A.①②       B.①③④       C.①③       D.①②④ 10.若数列{an}满足－=1，且a1=5，则数列{an}的前200项中，能被5整除的项数为(　 　)A.90        B.80          C.60       D.40二         、填空题11.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn=324(n＞6)，则数列{an}的项数为       . 12.设数列{an}的通项公式为an=2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|=     . 13.设等差数列{an}满足a1=1，an＞0(n∈N*)，其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是        .  三         、解答题14.已知等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，且a2·a3=45，S4=28.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn=(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值.           15.各项均不为0的数列{an}满足=an＋2an，且a3=2a8=.(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}的通项公式为bn=，求数列{bn}的前n项和Sn.                 16.已知数列{an}满足，an＋1＋an=4n－3(n∈N*).(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；(2)当a1=2时，求数列{an}的前n项和Sn.             
答案解析1.答案为：A；解析：∵在等差数列{an}中，a1=1，a2＋a6=10，∴解得a1=1，d=，∴a7=a1＋6d=1＋8=9.故选A. 2.答案为：B；解析：由题可得a3＋a15=6，所以a1＋a17=a3＋a15=6.所以S17==×6=51. 3.答案为：B；解析：∵在等差数列中，第一项、第三项、第五项分别为1,2a＋1,3a＋2，∴2(2a＋1)=1＋3a＋2，解得a=1，∴公差d===1，∴Sk=k×1＋×1=66，解得k=11或k=－12(舍).故选B. 4.答案为：A；解析：在等差数列{an}中，∵a3＋a8＞0，S9＜0，∴a5＋a6=a3＋a8＞0，S9==9a5＜0，∴a5＜0，a6＞0，∴S1、S2、…、S9中最小的是S5，故选A. 5.答案为：C；解析：甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1，a2，a3，a4，a5，设公差为d，由题意知a1＋a2=a3＋a4＋a5=，即解得故甲得钱，故选C. 6.答案为：A；解析：设等差数列{an}的公差为d，则当n=3时，S3=(a－a)，即3a1＋3d=(a1＋2d)2－a，整理得a1＋d=2d(a1＋d)，可得d=，所以S20－2S10=20a1＋×－20a1－10×9×=50，故选A. 7.答案为：B；解析：因为函数f(x)的图象关于直线x=－1对称，又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，所以f(x)在(－∞，－1)上也单调，且数列{an}是公差不为0的等差数列.又f(a50)=f(a51)，所以a50＋a51=－2，所以S100==50(a50＋a51)=－100. 8.答案为：C；解析：设等差数列{an}的公差为d.∵S3=a1＋a2＋a3=3a2=9，a2a4=21，∴a2=3，a4=7，d=2，an=2n－1.设Tn=＋＋…＋=＋＋…＋=1－，则Tn＋1=＋＋…＋＋=1－，两式作差得Tn＋1－Tn==－=，所以bn＋1=，则bn=.当bn＜，即＜时，得n的最小值为8，故选C. 9.答案为：C；解析：∵a1＋5a3=S8，∴a1＋5a1＋10d=8a1＋28d，∴a1=－9d，∴an=a1＋(n－1)d=(n－10)d，∴a10=0，故①一定正确，∴Sn=na1＋=－9nd＋=(n2－19n)，∴S7=S12，故③一定正确，显然②S10最小与④S20=0不一定正确，故选C. 10.答案为：B；解析：数列{an}满足－=1，即－=1，又=1，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴=n，∴an=2n2＋3n，列表如下：项12345678910an的个位数5474509290∴每10项中有4项能被5整除，∴数列{an}的前200项中，能被5整除的项数为80，故选B.  一         、填空题11.答案为：18；解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6=36，①an＋an－1＋an－2＋…＋an－5=180，②①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)=6(a1＋an)=216，∴a1＋an=36，又Sn==324，∴18n=324，∴n=18. 12.答案为：130；解析：由an=2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an=2n－10≥0，得n≥5，∴当n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|=－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)=20＋110=130. 13.答案为：121；解析：设数列{an}的公差为d，由题意得2=＋，因为a1=1，所以2=＋，化简可得d=2a1=2，所以an=1＋(n－1)×2=2n－1，Sn=n＋×2=n2，所以==2=2=2.又为单调递减数列，所以≤=112=121.  二         、解答题14.解：(1)∵S4=28，∴=28，∴a1＋a4=14，则a2＋a3=14，又a2·a3=45，公差d＞0，∴a2＜a3，a2=5，a3=9，∴解得∴an=4n－3.(2)由(1)知Sn=2n2－n，∴bn==，∴b1=，b2=，b3=.又{bn}是等差数列，∴b1＋b3=2b2，即2×=＋，解得c=－(c=0舍去). 15.解：(1)证明：依题意，an＋1an＋an＋2an＋1=2an＋2an，两边同时除以anan＋1an＋2，可得＋=，故数列是等差数列，设数列的公差为d.因为a3=2a8=，所以=5，=10，所以－=5=5d，即d=1，故=＋(n－3)d=5＋(n－3)×1=n＋2，故an=.(2)由(1)可知bn==·=，故Sn==. 16.解：(1)法一：∵数列{an}是等差数列，∴an=a1＋(n－1)d，an＋1=a1＋nd.由an＋1＋an=4n－3，得a1＋nd＋a1＋(n－1)d=4n－3，∴2dn＋(2a1－d)=4n－3，即2d=4,2a1－d=－3，解得d=2，a1=－.法二：在等差数列{an}中，由an＋1＋an=4n－3，得an＋2＋an＋1=4(n＋1)－3=4n＋1，∴2d=an＋2－an=4n＋1－(4n－3)=4，∴d=2.又∵a1＋a2=2a1＋d=2a1＋2=1，∴a1=－.(2)由题意知，①当n为奇数时，Sn=a1＋a2＋a3＋…＋an=a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)=2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×=.②当n为偶数时，Sn=a1＋a2＋a3＋…＋an=(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)=1＋9＋…＋(4n－7)=.综上，Sn=