2021年高考数学一轮精选练习：37《基本不等式》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：37《基本不等式》一         、选择题1.“a＞b＞0”是“ab＜”的(　  　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.若a＞0，b＞0，且a＋b=4，则下列不等式恒成立的是(　 　)A.≤      B.＋≤1      C.≥2       D.a2＋b2≥8 3.已知a＞0，b＞0，a＋b=＋，则＋的最小值为(　　)A.4        B.2            C.8        D.16 4.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy=30，则xy的最大值是(　 　)A.          B.            C.2           D. 5.设x＞0，y＞0，且x＋4y=40，则lgx＋lgy的最大值是(　 　)A.40         B.10           C.4          D.2 6.当0＜m＜时，若＋≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为(　 　)A.[－2,0)∪(0,4]     B.[－4,0)∪(0,2]    C.[－4,2]      D.[－2,4] 7.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z=0，则当取得最大值时，＋－最大值是(　 　)A.0          B.1          C.          D.3 8.已知函数f(x)=ax3－2x2＋cx在R上单调递增，且ac≤4，则＋最小值为(　　)A.0         B.         C.           D.1 二         、填空题9.已知a＞b＞0，那么a2＋的最小值为       . 10.已知直线ax－2by=2(a＞0，b＞0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1=0的圆心，则＋的最小值为        . 11.某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计).则泳池的长设计为　 　米时，可使总造价最低. 12.设正项等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2 017=4 034，则＋的最小值为　 　. 13.若正数x，y满足x＋3y=5xy，则3x＋4y的最小值为　 　. 14.设函数f(x)=－sin2x最小值为m，且与m对应的x最小正值为n，则m＋n=　　. 15.已知两条直线l1：y=m(m＞0)和l2：y=，l1与函数y=|log2x|的图象从左到右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图象从左到右相交于点C，D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，的最小值为        . 三         、解答题16.经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？           
答案解析1.答案为：A；解析：由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜”的充分不必要条件，故选A. 2.答案为：D；解析：4=a＋b≥2(当且仅当a=b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋==≥1，选项B不成立；a2＋b2=(a＋b)2－2ab=16－2ab≥8，选项D成立. 3.答案为：B；解析：由a＞0，b＞0，a＋b=＋=，得ab=1，则＋≥2 =2.当且仅当=，即a=，b=时等号成立，故选B. 4.答案为：C；解析：由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x=3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2. 5.答案为：D；解析：因为x＋4y=40，且x＞0，y＞0，所以x＋4y≥2=4.(当且仅当x=4y时取“=”)所以4≤40，所以xy≤100.所以lgx＋lgy=lgxy≤lg100=2.所以lgx＋lgy的最大值为2. 6.答案为：D；解析：因为0＜m＜，所以×2m×(1－2m)≤×2=，当且仅当2m=1－2m，即m=时取等号，所以＋=≥8，又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[－2,4]，故选D. 7.答案为：B；解析：==≤=1，当且仅当x=2y时等号成立，此时z=2y2，＋－=－＋=－2＋1≤1，当且仅当y=1时等号成立，故所求的最大值为1. 8.答案为：B；解析：因为函数f(x)=ax3－2x2＋cx在R上单调递增，所以f′(x)=ax2－4x＋c≥0在R上恒成立.所以所以ac≥4，又ac≤4，所以ac=4，又a＞0，所以c＞0，则＋=＋=＋=－＋－=＋－≥2 －=1－=，当且仅当a=c=2时等号成立，故选B.  一         、填空题9.答案为：4；解析：∵a＞b＞0，∴a－b＞0，∴b(a－b)≤2=，∴a2＋≥a2＋≥2=4，当且仅当b=a－b且a2=，即a=且b=时取等号，∴a2＋的最小值为4. 10.答案为：2.25；解析：圆x2＋y2－4x＋2y＋1=0的圆心坐标为(2，－1).由于直线ax－2by=2(a＞0，b＞0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1=0的圆心，故有a＋b=1.∴＋=(a＋2＋b＋1)=≥＋×2 =，当且仅当a=2b=时，取等号，故＋的最小值为. 11.答案为：15；解析：设泳池的长为x米，则宽为米，总造价f(x)=400×＋100×＋60×200=800×＋12 000≥1 600＋12 000=36 000(元)，当且仅当x=(x＞0)，即x=15时等号成立，即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低. 12.答案为：4；解析：由等差数列的前n项和公式，得S2 017==4 034，则a1＋a2 017=4.由等差数列的性质得a9＋a2 009=4，所以＋===≥=4，当且仅当a2 009=3a9时等号成立，故所求最小值为4. 13.答案为：5；解析：法一　由x＋3y=5xy可得＋=1，∴3x＋4y=(3x＋4y)=＋＋＋≥＋=5(当且仅当=，即x=1，y=时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.法二　由x＋3y=5xy，得x=，∵x＞0，y＞0，∴y＞，∴3x＋4y=＋4y=＋4y=＋·＋4≥＋2=5，当且仅当y=时等号成立，∴(3x＋4y)min=5. 14.答案为：；解析：f(x)=＋=＋－，因为cos2x＋2＞0，所以f(x)≥2×－=0，当且仅当=，即cos2x=－时等号成立，所以x的最小正值为n=，所以m＋n=. 15.答案为：8.解析：根据题意得xA=2－m，xB=2m，xC=2，xD=2，所以a=|xA－xC|=|2－m－2|，b=|xB－xD|=|2m－2|，即==2·2m=2＋m.因为m＞0，所以＋m=(2m＋1)＋－≥2 －=，当且仅当(2m＋1)=，即m=时取等号，所以的最小值为2=8.  二         、解答题16.解：(1)由题意可知，当m=0时，x=1，∴1=3－k，解得k=2，即x=3－，每1万件产品的销售价格为1.5×(万元)，∴2017年的利润y=x－(8＋16x＋m)=4＋8x－m=4＋8－m=28－－m(m≥0).∴利润y表示为年促销费用的函数关系式是y=28－－m(m≥0).(2)由(1)知y=－＋29(m≥0).∵m≥0时，＋(m＋1)≥2 =8，当且仅当=m＋1，即m=3时取等号.∴y≤－8＋29=21，即当m=3时，y取得最大值21.∴当该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元.