2021年高考数学一轮精选练习：53《曲线与方程》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

53《曲线与方程》

一         、选择题

1.方程(x2＋y2－2x)=0表示的曲线是(　 　)

A.一个圆和一条直线         B.一个圆和一条射线

C.一个圆                   D.一条直线

2.已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是(   　)

A.－=1               B.－=1

C.－=1(x＞3)         D.－=1(x＞4)

3.已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且|OD|=|BE|，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是(　 　)

A.y=x(1－x)(0≤x≤1)         B.x=y(1－y)(0≤y≤1)

C.y=x2(0≤x≤1)              D.y=1－x2(0≤x≤1)

4.已知圆M：(x＋)2＋y2=36，定点N(，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在线段MP上，且满足N=2 N，G·N=0，则点G的轨迹方程是(  　)

A.＋=1      B.＋=1       C.－=1     D.－=1

5.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线A－B－C运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是(　 　)

6.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足O=λ1 O＋λ2 O(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2=1，则点C的轨迹是(　 　)

A.直线        B.椭圆        C.圆          D.双曲线

7.如图，已知F1，F2是椭圆Γ：＋=1(a＞b＞0)的左，右焦点，P是椭圆Γ上任意一点，过F2作∠F1PF2的外角的平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为(　 　)

A.直线         B.圆       C.椭圆          D.双曲线

8.若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是(　 　)

A.x＋y=5      B.x2＋y2=9      C.＋=1     D.x2=16y

9.在△ABC中，已知A(2,0)，B(－2,0)，G，M为平面上的两点且满足G＋G＋G=0，|M|=|M|=|M|，G∥A，则顶点C的轨迹为(　 　)

A.焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外)

B.焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)

C.焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)

D.焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)

10.在平面直角坐标系中，定义d(P，Q)=|x2－x1|＋|y2－y1|为两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“折线距离”，则下列命题中：

①若A(－1,3)，B(1,0)，则有d(A，B)=5；

②到原点的“折线距离”等于1的所有点的集合是一个圆；

③若C点在线段AB上，则有d(A，C)＋d(C，B)=d(A，B)；

④到M(－1,0)，N(1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0.

真命题的个数为(　 　)

A.1          B.2           C.3          D.4

二         、填空题

11.已知A(1,2)，B(－1,2)，动点P(x，y)满足⊥，若双曲线－=1(a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是       .

12.已知△ABC的顶点A，B坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C为动点，且满足sin B＋sin A=sin C，则C点的轨迹方程为         .

13.已知点Q在椭圆C：＋=1上，点P满足O=(＋O)(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹方程为            .

三         、解答题

14.在直角坐标系xOy中，长为＋1的线段的两端点C，D分别在x轴、y轴上滑动，C= P.记点P的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A，B两点，O=O＋O，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积.

15.已知C为圆(x＋1)2＋y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1,0)和AP上的点M，满足M·A=0，A=2 A.

(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；

(2)若斜率为k的直线l与圆x2＋y2=1相切，与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤O·O≤时，求k的取值范围.

16.如图，P是圆x2＋y2=4上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足D=D.

(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)过点N(3,0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程.

答案解析

1.答案为：D；

解析：依题意，题中的方程等价于①x＋y－3=0或②

注意到圆x2＋y2－2x=0上的点均位于直线x＋y－3=0的左下方区域，

即圆x2＋y2－2x=0上的点均不满足x＋y－3≥0，即②不表示任何图形，

因此题中的方程表示的曲线是直线x＋y－3=0.

2.答案为：C；

解析：如图，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，

所以|CA|－|CB|=8－2=6＜10=|AB|.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，

实轴长为6的双曲线的右支(y≠0)，方程为－=1(x＞3).

3.答案为：A；

解析：设D(0，λ)，E(1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD的方程为x＋=1(0≤x≤1)，

线段OE的方程为y=(1－λ)x(0≤x≤1)，联方方程

(λ为参数)，消去参数λ得点G的轨迹方程为y=x(1－x)(0≤x≤1).

4.答案为：A；

解析：由N=2 N，G·N=0知GQ所在直线是线段NP的垂直平分线，连接GN，

∴|GN|=|GP|，∴|GM|＋|GN|=|MP|=6＞2，

∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其中2a=6,2c=2，∴b2=4，

∴点G的轨迹方程为＋=1，故选A.

5.答案为：D；

解析：当P沿AB运动时，x=1，设P′(x′，y′)，则(0≤y≤1)，

故y′=1－(0≤x′≤2,0≤y′≤1).当P沿BC运动时，y=1，

则(0≤x≤1)，所以y′=－1(0≤x′≤2，－1≤y′≤0)，

由此可知P′的轨迹如D所示，故选D.

6.答案为：A；

解析：设C(x，y)，因为O=λ1O＋λ2O，

所以(x，y)=λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，

即解得

又λ1＋λ2=1，所以＋=1，即x＋2y=5，所以点C的轨迹是直线，故选A.

7.答案为：B；

解析：延长F2Q，与F1P的延长线交于点M，连接OQ.因为PQ是∠F1PF2的外角的平分线，且PQ⊥F2M，所以在△PF2M中，|PF2|=|PM|，且Q为线段F2M的中点.又O为线段F1F2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ|=|F1M|=(|PF1|＋|PF2|).根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|=2a，所以|OQ|=a，所以点Q的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆，故选B.

8.答案为：B；

解析：∵M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，

∴M的轨迹是以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线，方程为－=1.

A项，直线x＋y=5过点(5,0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；

B项，x2＋y2=9的圆心为(0,0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；

C项，＋=1的右顶点为(5,0)，故椭圆＋=1与M的轨迹有交点，满足题意；

D项，方程代入－=1，可得y－=1，即y2－9y＋9=0，∴Δ＞0，满足题意.

9.答案为：B；

解析：设C(x，y)(y≠0)，

由G＋G＋G=0，即G为△ABC的重心，得G.

又|M|=|M|=|M|，即M为△ABC的外心，所以点M在y轴上，

又G∥A，则有M.所以x2＋2=4＋，化简得＋=1，y≠0.

所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点).

10.答案为：C；

解析：①d(A，B)=|－1－1|＋|3－0|=5，对；

②设点A(x，y)，则d(A，O)=|x|＋|y|=1，不是圆，错；

③若点C在线段AB上，设C点坐标为(x0，y0)，x0在x1，x2之间，y0在y1，y2之间，则d(A，C)＋d(C，B)=|x0－x1|＋|y0－y1|＋|x2－x0|＋|y2－y0|=|x2－x1|＋|y2－y1|=d(A，B)成立，对；

④|x＋1|＋|y|=|x－1|＋|y|，由|x＋1|=|x－1|，解得x=0，对.

一         、填空题

11.答案为：(1,2)；

解析：由⊥，可得动点P(x，y)的轨迹方程为x2＋(y－2)2=1，

易知双曲线的一条渐近线方程为y=x，由题意知圆心(0,2)到渐近线的距离大于半径1，

所以>1，即3a2>b2.又b2=c2－a2，所以3a2>c2－a2,4a2>c2，离心率e=<2，

又双曲线的离心率e>1，所以1<e<2.

12.答案为：＋=1(x≠±5)；

解析：由sin B＋sin A= sin C可知b＋a=c=10，

则|AC|＋|BC|=10＞8=|AB|，∴满足椭圆定义.令椭圆方程为＋=1，

则a′=5，c′=4，b′=3，则轨迹方程为＋=1(x≠±5).

13.答案为：＋=1；

解析：因为点P满足O=(＋O)，所以点P是线段QF1的中点.

设P(x，y)，由F1为椭圆C：＋=1的左焦点，得F1(－，0)，

故Q(2x＋，2y)，又点Q在椭圆C：＋=1上，

则点P的轨迹方程为＋=1，即＋=1.

二         、解答题

14.解：(1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y).

由C= P，得(x－m，y)=(－x，n－y)，

所以得

由|C|=＋1，得m2＋n2=(＋1)2，所以(＋1)2x2＋y2=(＋1)2，

整理，得曲线E的方程为x2＋=1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由O=O＋O，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2).

由题意知，直线AB的斜率存在.

设直线AB的方程为y=kx＋1，代入曲线E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1=0，

则x1＋x2=－，x1x2=－.y1＋y2=k(x1＋x2)＋2=.

由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋=1，

即＋=1，解得k2=2.

这时|AB|=|x1－x2|==，

原点到直线AB的距离d==，

所以平行四边形OAMB的面积S=|AB|·d=.

15.解：(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线，

所以|CP|=|QC|＋|QP|=|QC|＋|QA|=2＞|CA|=2，

所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆，

所以a=，c=1，b==1，

故点Q的轨迹方程是＋y2=1.

(2)设直线l：y=kx＋t，F(x1，y1)，H(x2，y2)，

直线l与圆x2＋y2=1相切⇒=1⇒t2=k2＋1.

联立，得⇒(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2=0，

Δ=16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)=8(2k2－t2＋1)=8k2＞0⇒k≠0，

x1＋x2=，x1x2=，

所以O·O=x1x2＋y1y2=(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2

=＋kt＋t2=－＋k2＋1=，

所以≤≤⇒≤k2≤⇒≤|k|≤，

所以－≤k≤－或≤k≤.

故k的取值范围是[－，－]∪[，].

16.解：(1)设M(x，y)，则D(x,0)，

由D=D，知P(x,2y)，

∵点P在圆x2＋y2=4上，

∴x2＋4y2=4，故动点M的轨迹C的方程为＋y2=1，

且轨迹C是以(－，0)，(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆.

(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在.

设l：y=k(x－3)，代入＋y2=1，得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4=0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2=，

∴y1＋y2=k(x1－3)＋k(x2－3)=k(x1＋x2)－6k=－6k=.

∵四边形OAEB为平行四边形，

∴O=O＋O=(x1＋x2，y1＋y2)=，

又O=(x，y)，∴消去k得，x2＋4y2－6x=0，

由Δ=(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)＞0，得k2＜，∴0＜x＜.

∴顶点E的轨迹方程为x2＋4y2－6x=0.