2021年高考数学一轮精选练习：65《几何概型》(含解析)
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65《几何概型》
一 、选择题
1.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中任取一点M，则满足∠AMB>90°的概率为( )
A. B. C. D.
2.在区间[－1,1]上任选两个数x和y，则x2＋y2≥1的概率为( )
3.设复数z=(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为( )
A.＋ B.－ C.－ D.＋
4.设O为坐标原点，点P(x－2，x－y)，在[0,3]上先后取两个数分别记为x，y，则点P在第一象限的概率为( )
A. B. C. D.
5.如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0，－1)，B(π，－1)，C(π，1)，D(0,1)，正弦曲线f(x)=sin x和余弦曲线g(x)=cos x在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( B )
A. B. C. D.
6.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
A． B． C． D．
7.在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是( )
A. B. C. D.
8.在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≥”的概率，p2为事件“|x－y|≤”的概率，p3为事件“xy≤”的概率，则( )
A.p1<p2<p3 B.p2<p3<p1 C.p3<p1<p2 D.p3<p2<p1
9.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( A )
10.某个四面体的三视图如图所示，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为( )
11.若张三每天的工作时间在6小时至9小时之间随机均匀分布，则张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是( )
A. B. C. D.
二 、填空题
12.如图，在半径为a的圆内有一片湖水，向圆内随机投入n个点，则有m个点落入湖水中(n>m)，据此估计湖水的面积为 .
13.平面区域A1={(x，y)|x2＋y2<4，x，y∈R}，A2={(x，y)||x|＋|y|≤3，x，y∈R}.在A2内随机取一点，则该点不在A1内的概率为 .
14.利用随机模拟方法计算y=x2与y=4围成的面积时，利用计算器产生两组0～1之间的均匀随机数a1=RAND，b1=RAND，然后进行平移与伸缩变换a=a1·4－2，b=b1·4，试验进行100次，前98次中落在所求面积区域内的样本点数为65，已知最后两次试验的随机数a1=0．3，b1=0．8及a1=0．4，b1=0．3，那么本次模拟得出的面积约为________．
15.如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 .
16.若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3=0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为 .
答案解析
1.答案为：A；
2.答案为：A；
解析：在区间[－1,1]上任选两个数x和y，则如
图，该不等式组表示的平面区域是边长为2的正方形区域，
x2＋y2≥1(－1≤x≤1，－1≤y≤1)表示的平面区域是图中阴影区域，
∴由几何概型概率计算公式得x2＋y2≥1的概率
P===1－.故选A.
3.答案为：B；
解析：∵|z|≤1，∴(x－1)2＋y2≤1，表示以M(1,0)为圆心，1为半径的圆及其内部，
该圆的面积为π.易知直线y=x与圆(x－1)2＋y2=1相交于O(0,0)，A(1,1)两点，
作图如下：
∵∠OMA=90°，∴S阴影=－×1×1=－.故所求的概率P===－.
4.答案为：A；
解析：设事件A为“点P在第一象限”，
所表示的区域面积为3×3=9.由题意可得事件A满足
即如图所示的阴影部分，其区域面积为1×3－×1×1=，∴P(A)==.
5.答案为：B；
6.答案为：B；
解析：不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S正方形=4．
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑=S白=S圆=，
所以由几何概型知所求概率P===．故选B．
7.答案为：C；
解析：设这两个数分别是x，y，则总的基本事件构成的区域是
确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是
确定的平面区域，如图所示(阴影部分)，
阴影部分的面积是1－×2=，所以这两个数之和小于的概率是.
8.答案为：B；
9.答案为：A；
10.答案为：C；
11.答案为：D；
解析：设第一天工作的时间为x小时，第二天工作的时间为y小时，则
因为连续两天平均工作时间不少于7小时，所以≥7，即x＋y≥14，
表示的区域面积为9，其中满足x＋y≥14的区域面积为9－×2×2=7，
∴张三连续两天平均工作时间不少于7小时的概率是，故选D.
一 、填空题
12.答案为：πa2；
13.答案为：1－；
解析：分别画出区域A1，A2，如图中圆内部和正方形及其内部所示，
根据几何概型可知，所求概率为=1－.
14.答案为：10．72；
解析：由a1=0．3，b1=0．8，得a=－0．8，b=3．2，(－0．8，3．2)落在y=x2与y=4
围成的区域内；由a1=0．4，b1=0．3，得a=－0．4，b=1．2，(－0．4，1．2)
落在y=x2与y=4围成的区域内，所以本次模拟得出的面积约为16×=10．72．
15.答案为：；
解析：因为y=ex与y=ln x互为反函数，故直线y=x两侧的阴影部分面积相等，
所以S阴影=2·(e－ex)dx=2(ex－ex)|=2，又S正方形=e2，故P==.
16.答案为：；
