2021年高考数学一轮精选练习：67《二项分布、正态分布及其应用》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

67《二项分布、正态分布及其应用》

一         、选择题

1.设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是(　 　)

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)

B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)

C.对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)

D.对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)

2.袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　 　)

A.          B.          C.          D.

3.甲乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是(　　)

A.          B.             C.          D.

4.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800,502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为(　 　)

(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)=0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)=0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)=0.997 4)

A.0.977 2      B.0.682 6          C.0.997 4        D.0.954 4

5.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分).

甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83

乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74

现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A；“抽出的学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则P(AB)，P(A|B)的值分别是(　 　)

A.，       B.，         C.，       D.，

6.为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是(　 　)

A.         B.           C.         D.

7.春节放假，甲回老家过节的概率为，乙、丙回老家过节的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为(　B　)

A.         B.         C.        D.

8.设X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是(　　)

(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)=68.26%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)=95.44%)

A.7 539       B.6 038          C.7 028       D.6 587

二         、填空题

9.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是     .

10.口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为       .

11.如图，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则P(B|A)=         .

12.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为          .

13.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是        .(写出所有正确结论的序号)

①P(B)=；

②P(B|A1)=；

③事件B与事件A1相互独立；

④A1，A2，A3是两两互斥的事件；

⑤P(B)的值不能确定，它与A1，A2，A3中哪一个发生都有关.

三         、解答题

14.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.

(ⅰ)利用该正态分布，求P(187.8＜Z＜212.2)；

(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数.利用(ⅰ)的结果，求E(X).

附：≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，

则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)=0.682 6，P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)=0.954 4.

15.某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.

(1)求a，b，c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数；

(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)

(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值.

16.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：

(1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55,38.45)内的概率；

②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望.

附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标值的标准差为σ=≈11.95；

若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)=0.682 6，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)=0.954 4.

答案解析

1.答案为：C；

解析：由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2，∴P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错 ；

P(X≥σ2)>P(X≤σ1)，故B错；当t为任意正数时，由题图可知P(X≤t)≥P(Y≤t)，

而P(X≤t)=1－P(X≥t)，P(Y≤t)=1－P(Y≥t)，∴P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D错.

2.答案为：D；

解析：袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，

每次取到黄球的概率P1=，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率是P=C2=.

3.答案为：D；

解析：甲不跑第一棒共有A·A=18种情况，甲不跑第一棒且乙不跑第二棒共有两类：

(1)乙跑第一棒，共有A=6种情况；(2)乙不跑第一棒，共有A·A·A=8种情况，

∴甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率为=.故选D.

4.答案为：A；

解析：∵X～N(800,502)，∴P(700≤X≤900)=0.954 4，

∴P(X>900)==0.022 8，∴P(X≤900)=1－0.022 8=0.977 2.故选A.

5.答案为：A；

解析：由题意知，P(AB)=×=，

根据条件概率的计算公式得P(A|B)===.

6.答案为：D；

解析：记第i名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i=1,2,3.由题意，事件Ai，Bi，Ci(i=1,2,3)相互独立，则P(Ai)==，P(Bi)==，P(Ci)==，i=1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P=AP(AiBiCi)=6×××=.

7.答案为：B；

解析：“甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A，B，C，则P(A)=，P(B)=，P(C)=，

所以P()=，P()=，P()=.由题知A，B，C为相互独立事件，

所以三人都不回老家过节的概率P(  )=P()P()P()=××=，

所以至少有一人回老家过节的概率P=1－=.

8.答案为：D；

解析：∵X～N(1,1)，∴μ=1，σ=1.

∵P(μ－σ<X<μ＋σ)=68.26%，∴P(0<X<2)=68.26%，则P(1<X<2)=34.13%，

∴阴影部分的面积为1－0.341 3=0.658 7.∴向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，

则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7=6 587.故选D.

一         、填空题

9.答案为：；

解析：由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，

所以质点P必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C3·2=C5=C5=.

10.答案为：；

解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A表示“第一次取得红球”，事件B表示“第二次取得白球”，则P(A)==，P(AB)=×=，∴第一次取得红球后，第二次取得白球的概率为P(B|A)===.

11.答案为：；

解析：由题意可得，事件A发生的概率P(A)===.

事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P(AB)===，

故P(B|A)===.

12.答案为：；

解析：设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A，B，C，

显然P(A)=P(B)=P(C)=，

∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A＋B＋AB)C，

∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率P=×=.

13.答案为：②④；

解析：由题意知A1，A2，A3是两两互斥的事件，

P(A1)==，P(A2)==，P(A3)=，P(B|A1)==，由此知，②正确；

P(B|A2)=，P(B|A3)=，而P(B)=P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)

=P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)=×＋×＋×=.

由此知①③⑤不正确；A1，A2，A3是两两互斥事件，④正确，故答案为②④.

二         、解答题

14.解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为

=170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02=200，

s2=(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02=150.

(2)(ⅰ)由(1)知，Z～N(200,150)，

从而P(187.8<Z<212.2)=P(200－12.2<Z<200＋12.2)=0.682 6.

(ⅱ)由(ⅰ)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，

依题意知X～B(100,0.682 6)，所以E(X)=100×0.682 6=68.26.

15.解：(1)∵前四组频数成等差数列，

∴所对应的也成等差数列，

设a=0.2＋d，b=0.2＋2d，c=0.2＋3d，

∴0.5(0.2＋0.2＋d＋0.2＋2d＋0.2＋3d＋0.2＋d＋0.1＋0.1＋0.1)=1，

解得d=0.1，∴a=0.3，b=0.4，c=0.5.

居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5=0.25.

居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100=25.

(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8，

∴为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，

应规定w=2.5＋×0.5≈2.83.

(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，

可知P(A≤2.5)=0.7，

由题意，X～B(3,0.7)，

P(X=0)=C×0.33=0.027，

P(X=1)=C×0.32×0.7=0.189，

P(X=2)=C×0.3×0.72=0.441，

P(X=3)=C×0.73=0.343.

∴X的分布列为

∵X～B(3,0.7)，

∴E(X)=np=2.1.

16.解：(1)所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的平均数

=5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15=26.5.

(2)①∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ=26.5，σ≈11.95，

∴P(14.55<Z<38.45)=P(26.5－11.95<Z<26.5＋11.95)=0.682 6，

∴Z落在(14.55,38.45)内的概率是0.682 6.

②根据题意得X～B，P(X=0)=C4=；P(X=1)=C4=；

P(X=2)=C4=；P(X=3)=C4=；P(X=4)=C4=.

∴X的分布列为

∴E(X)=4×=2.