专题4 指数、对数幂函数-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析（解析版）

专题4 指数、对数幂函数一、单选题1．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是(   )A．B．C．D．【答案】B【解析】法一：结合二次函数的图象可知，，，所以函数单调递增，排除C，D；把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，排除A，选B.法二：结合二次函数的图象可知，，，所以，，在中，取，得，只有选项B符合，故选B.2．已知定义域为的函数是奇函数，则不等式解集为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】若函数是奇函数，则， ，所以， ，当时，，，所以函数是单调递减函数，，即，解得: ,解集是.故选：A3．已知，其中，已知，且，，，则，，的大小关系是（    ）．A． B． C． D．【答案】D【解析】∵,可得,∴为单调减函数，∵，∴，∴,,∴，故选：D.4．已知函数满足对任意实数，都有，设，，（    ）A．2018 B．2017 C．-2016 D．-2015【答案】D【解析】由题可知：令，可得令，则所以又由， 所以又所以，由所以故选：D5．对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，记，则(  )A．-6 B．-1 C．1 D．0【答案】D【解析】因为，，，所以，，，则： ，故选D.6．定义在上的单调函数满足，且，，则与的关系是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，是定义在上的单调函数，满足， 则为常数，设，则， 又由，即，则有，解可得， 则， 若，即，则， 若，必有， 则有 ，又由，则，解可得，即，变形可得：.故选：A．7．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则使不等式成立的x的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，是增函数且，又函数是定义在R上的奇函数，则满足，所以，函数在上是连续函数，所以函数在R上是增函数，，∴，∴，即，，又，∴，，即原不等式的解集为．故选：C.8．已知函数是定义在上的奇函数，，且时，，则(    )A．4 B． C． D．【答案】D【解析】因为函数满足，所以，即函数是以为周期的周期函数，又函数是定义在上的奇函数，且时，，所以．故选D．9．已知函数有两个零点，分别为，，则下列结论正确的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】依题可知，有两个根，解得或，且，即．因为 ，所以，解得；，解得；，解得．故选：A．10．已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】由于函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，所以，函数在区间上为减函数，由得，所以，，即，解得，因此，实数的取值范围是.故选：A.11．已知且函数的图象恒过定点，若点在幂函数的图象上，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，得，当时，，所以点的坐标为，由于函数为幂函数，设，将点的坐标代入函数的解析式，得，则，，因此，.故选：C.12．函数,且恒过定点，则在直角坐标系中,函数的大致图像为 （      ）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题：定点为，即，，关于直线对称，当时，单调递减，根据对称性，当时，单调递增，故选：B 二、填空题13．已知函数，且，，设值改变时点的轨迹为，若点，为曲线上的两点，为坐标原点，则面积的最大值为__.【答案】【解析】由题意，可知：，．又，，．，，即：，．曲线的轨迹方程即为：．，．，则曲线的图象如图：面积要取最大值，当、为曲线的两个端点时，面积最大，点坐标为，点坐标为．则直线的直线方程为：，化简，得：．．原点到直线的距离．面积的最大值为：．故答案为．14．已知函数若，是互不相同的正数，且，则的取值范围是_____．【答案】【解析】先画出函数的图象，如图所示：因为互不相同，不妨设，且，而，即有，可得，则，由，且，可得，且，当时，，此时，但此时b，c相等，故的范围为．故答案为．15．已知函数在上单调递减，则的取值范围是_________.【答案】【解析】由题分段函数在上单调递减可得又因为二次函数图像开口向上，所以，解得 且，将代入可得，解得所以的取值范围是16．给出下列四个命题：①在中，若，则；②已知点，则函数的图象上存在一点，使得；③函数是周期函数，且周期与有关，与无关；④设方程的解是，方程的解是，则.其中真命题的序号是______.（把你认为是真命题的序号都填上）【答案】①③【解析】①在中，若，则，则，由于正弦函数在区间上为增函数，所以，故命题①正确；②已知点，则函数，所以该函数图象上不存在一点，使得，故命题②错误；③函数的是周期函数，当时，，该函数的周期为.当时，，该函数的周期为.所以，函数的周期与有关，与无关，命题③正确；④设方程的解是，方程的解是，由，可得，由，可得，则可视为函数与直线交点的横坐标，可视为函数与直线交点的横坐标，如下图所示：联立，得，可得点，由于函数的图象与函数的图象关于直线对称，则直线与函数和函数图象的两个交点关于点对称，所以，命题④错误.故答案为：①③. 三、解答题17．已知.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若实数满足，求实数的取值范围；【答案】（1）为奇函数；（2）.【解析】（1）函数的定义域为，，所以函数是奇函数.（2），根据复合函数单调性可知函数单调递增，，函数又是奇函数，， ，是单调递增函数，，解得：18．设函数．（1）若是偶函数，求的值；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；（3）设函数，若在有零点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）若是偶函数，则，即即，则，即；（2），即，即，则，设，，.设，则，则函数在区间上为增函数，当时，函数取得最大值，.因此，实数的取值范围是；（3），则，则，设，当时，函数为增函数，则，若在有零点，即在上有解，即，即，函数在上单调递增，则，即.，因此，实数的取值范围是.19．已知函数.（1）若函数（，）的定义域为，求实数a的取值范围；（2）当时，恒有不等式成立，求实数a的取值范围.【答案】（1），且；（2）【解析】（1）由题意可知，在上恒成立，∴，∴，且；（2）∵，∴，令，∴，令，解得，当时，，递增；当时，，递减；∴，∴.20．已知函数f（x）g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2•3x．（1）证明：f（x）-g（x）=2•3-x，并求函数f（x），g（x）的解析式；（2）解关于x不等式：g（x2+2x）+g（x-4）＞0；（3）若对任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）-4恒成立，求实数m的最大值．【答案】（1）详见解析；（2）（-∞，-4）∪（1，+∞）；（3）3.【解析】（1）证明：函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）；又f（x）+g（x）=2•3x，①∴f（-x）+g（-x）=2•3-x，即f（x）-g（x）=2•3-x，②由①②求得函数f（x）=3x+3-x，g（x）=3x-3-x；（2）解：g（x）=3x-3-x是定义域R上的单调增函数，所以不等式g（x2+2x）+g（x-4）＞0可化为g（x2+2x）＞-g（x-4）=g（4-x），即x2+2x＞4-x，整理得x2+3x-4＞0，解得x＜-4或x＞1，所以不等式的解集为（-∞，-4）∪（1，+∞）；（3）解：对任意x∈R，函数f（x）=3x+3-x≥2=2，当且仅当x=0时取“=”；所以不等式f（2x）≥mf（x）-4化为32x+3-2x≥m（3x+3-x）-4，即m≤=；设t=3x+3-x，则t≥2，所以函数g（t）=t+在区间[2，+∞）上单调递增，g（t）min=g（2）=2+1=3，即m≤3,所以实数m的最大值为3．21．已知函数，函数.（1）若函数，最小值为，求实数的值；（2）当时，不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）令，因为，所以．设，则，化简得，，当，即时，有，解得或；当，即时，有，解得（舍去）．因此，实数的值为或；（2）不等式可化为，即．因为当时，不等式的解集为，所以当时，不等式的解集为，则不等式对任意的恒成立，令，，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，所以，从而，因此，实数的取值范围是．22．设是函数的图象上的任意两点.为的中点，的横坐标为.（1）求的纵坐标.（2）设，其中，求.（3）对于（2）中的，已知，其中，设为数列的前项的和，求【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）为的中点，的横坐标为，故，，故的纵坐标为；（2）根据（1）知：，故，故；（3），，.