2019届高考物理一轮复习讲义：第1章 运动的描述 匀变速直线运动第3讲　运动图象　追及相遇问题(含答案)

第3讲　运动图象　追及相遇问题

板块一　主干梳理·夯实基础

【知识点1】　匀变速直线运动的图象　Ⅱ

1．直线运动的x­t图象

(1)意义：反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律。

(2)图线上某点切线的斜率的意义

①斜率大小：表示物体速度的大小。

②斜率的正负：表示物体速度的方向。

(3)两种特殊的x­t图象

①若x­t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。(如图中甲所示)

②若x­t图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动。(如图中乙所示)

2．直线运动的v­t图象

(1)意义：反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律。

(2)图线上某点切线的斜率的意义

①斜率的大小：表示物体加速度的大小。

②斜率的正负：表示物体加速度的方向。

(3)两种特殊的v­t图象

①匀速直线运动的v­t图象是与横轴平行的直线。(如图中甲所示)

②匀变速直线运动的v­t图象是一条倾斜的直线。(如图中乙所示)

(4)图线与坐标轴围成的“面积”的意义

①图线与坐标轴围成的“面积”表示相应时间内的位移。

②若此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；若此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向。

3．直线运动的a­t图象

(1)意义：反映了直线运动的物体，加速度随时间变化的规律。

(2)匀变速直线运动的a­t图象，只能是与t轴平行的直线。

(3)图线与坐标轴围成“面积”的意义：速度的变化Δv。

【知识点2】　追及和相遇问题

1．追及问题的两类情况

  (1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。

(2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。

①同向运动相隔一定的初始距离s0的问题：速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)。

a．若两者速度相等时，追者位移仍小于被追者位移与s0之和，则永远追不上，此时两者间有最小距离。

b．若两者位移相等时，速度也相等，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。

c．若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距有一个最大值。

②从同一地点出发开始同向运动的问题：速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)。

a．当两者速度相等时两者间有最大距离。

b．若两者位移相等时，则追上。

2．相遇问题

(1)同向运动的两物体追上即相遇。两物体位移大小之差等于开始时两物体间距。

(2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。

板块二　考点细研·悟法培优

考点1  运动图象的应用  [深化理解]

1．应用运动图象的三点注意

(1)无论是x­t图象还是v­t图象都只能描述直线运动。

(2)x­t图象和v­t图象都不表示物体运动的轨迹。

(3)x­t图象和v­t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定。

2．应用运动图象解题“六看”

续表

例1　(多选)如图所示为一质点做直线运动的速度—时间图象，下列说法中正确的是(　　)

A．整个过程中，CD段和DE段的加速度数值最大

B．整个过程中，BC段的加速度最大

C．整个过程中，C点所表示的状态，离出发点最远

D．BC段所表示的运动通过的路程是34 m

(1)0～22 s内，质点的运动方向是否发生变化？什么时刻离出发点最远？

提示：当图象过时间轴时质点运动方向发生改变，t＝20秒时速度图象过时间轴，即方向发生了改变。t＝20秒时离出发点最远。

(2)v­t图象中“面积”的含义是什么？

提示：图线与时间轴所围的“面积”表示位移的大小。

尝试解答　选AD。

图象的斜率表示加速度，由图知CE段斜率最大，加速度最大，A正确，B错误。t＝20 s时速度改变方向，所以D点所表示的状态离出发点最远，C错误。BC段和时间轴围成的面积为34 m，D正确。

总结升华

用速度—时间图象巧得五个运动量

(1)运动速度：从速度轴上直接读出，负值表示反向运动。

(2)运动时间：从时间轴上直接读出时刻。

(3)运动加速度：从图线的斜率得到加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正负反映了加速度的方向。例题中BC段加速度与CD段加速度方向相反。

(4)运动的位移：从图线与时间轴围成的面积得到位移，图线与时间轴围成的面积表示位移的大小，横轴以上为“＋”值，横轴以下为“－”值，整个过程的位移是它们的代数和，如CD段的位移为正值，DE段为负值；那CE段的总位移为0。

(5)运动的路程：因为路程是标量。路程是图线与时间轴围成的面积的总和。

　汽车在平直公路上做刹车试验，若从t＝0时起汽车在运动过程中的位移与速度的平方之间的关系如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．t＝0时汽车的速度为10 m/s

B．刹车过程持续的时间为5 s

C．刹车过程经过3 s时汽车的位移为7.5 m

D．刹车过程汽车的加速度大小为10 m/s2

答案　A

解析　由图象可得x＝－v2＋10，根据v2－v＝2ax可得x＝v2－，解得a＝－5 m/s2，v0＝10 m/s，A正确，D错误；汽车刹车过程的时间为t＝＝2 s，B错误；汽车经过2 s停止，因而经过3 s时汽车的位移为 x＝10 m，C错误。

考点2  追及和相遇问题  [解题技巧]

1．追及和相遇问题中的一个条件和两个关系

(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到。

2．追及相遇问题两种典型情况

假设物体A追物体B，开始时，两个物体相距x0，有两种典型情况：

(1)初速度小的追初速度大的运动的物体。当vA＝vB时，两者相距最远。

(2)初速度大的追初速度小的运动的物体。当vA＝vB时，

①若已超越则相遇两次。

②若恰好追上，则相遇一次。

③若没追上，则无法相遇，两者之间有最小距离。

例2　一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求：

(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？

(1)追上前两车相距最远的条件是什么？

提示：两车速度相等。

(2)追上时两车的位移关系。

提示：位移之差等于初始距离。

尝试解答　(1)2_s__6_m__(2)4_s__12_m/s。

(1)解法一：(物理分析法)

汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，两车间的距离为Δx，则有v自＝at1

所以t1＝＝2 s

Δx＝v自t1－at＝6 m。

解法二：(相对运动法)

以自行车为参考系，则从开始到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为

初速度v0＝v汽初－v自＝0－6 m/s＝－6 m/s

末速度vt＝v汽车－v自＝0

加速度a′＝a－a自＝3 m/s2－0＝3 m/s2

所以两车相距最远时经历的时间为t1＝＝2 s

最大距离Δx＝＝－6 m

负号表示汽车在后。

注意：利用相对运动的方法解题，要抓住三个关键：①选取哪个物体为研究对象；②选取哪个物体为参考系；③规定哪个方向为正方向。

解法三：(极值法)

设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远，则Δx＝v自t1－at

代入已知数据得Δx＝6t1－t

由二次函数求极值的条件知：t1＝2 s时，Δx有最大值6 m。

所以经过t1＝2 s后，两车相距最远，为Δx＝6 m。

解法四：(图象法)

自行车和汽车的v­t图象如图所示。由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有

t1＝＝ s＝2 s

Δx＝＝ m＝6 m。

(2)解法一：当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，则有v自t2＝at

解得t2＝＝ s＝4 s

此时汽车的速度v1′＝at2＝12 m/s。

解法二：由前面画出的v­t图象可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝3×4 m/s＝12 m/s。

总结升华

追及相遇问题的求解方法

(1)解题思路

(2)解题技巧

①紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。

②审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。

③若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析。

④紧紧抓住速度相等这个关键点。

⑤作此类选择题时，图象法是最好的选择，如例题中的解法四。

　甲、乙两车相距40.5 m，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速度v1＝16 m/s，加速度a1＝2 m/s2做匀减速直线运动，乙车在后，以初速度v2＝4.0 m/s，加速度a2＝1.0 m/s2与甲同向做匀加速直线运动。求：

(1)甲、乙两车相遇前相距的最大距离；

(2)乙车追上甲车经历的时间。

答案　(1)64.5 m　(2)11.0 s

解析　(1)解法一：甲、乙两车速度相等时距离最大，设时间为t1时，两车的速度相等，则：v1－a1t1＝v2＋a2t1

即16－2t1＝4＋t1，解得：t1＝4.0 s

对甲车：x1＝v1t1－a1t＝48 m

对乙车：x2＝v2t1＋a2t＝24 m

故甲、乙两车相遇前相距的最大距离：

xmax＝x0＋x1－x2＝64.5 m

解法二：甲、乙两车之间的距离为

x＝v1t1－a1t＋x0－

即x＝－t＋12t1＋40.5

当t1＝－ s＝4 s时，甲、乙两车之间的距离有最大值，最大值为

xmax＝ m＝64.5 m。

(2)甲车运动至停止的时间t2＝＝8 s

在甲车运动时间内，甲车位移：x1′＝t2＝64 m

乙车位移：x2′＝v2t2＋a2t＝64 m

故甲车停止时，甲、乙两车仍相距x＝40.5 m，甲车停止时，乙车的速度：v2′＝v2＋a2t2＝12 m/s，

故x＝v2′t3＋a2t

即40.5＝12t3＋t，解得：t3＝3 s

乙车追上甲车的时间：t＝t2＋t3＝11.0 s。

[2015·福建高考](15分)一摩托车由静止开始在平直的公路上行驶，其运动过程的v­t图象如图所示。求：

(1)摩托车在0～20 s这段时间的加速度大小a；

(2)摩托车在0～75 s这段时间的平均速度大小。