2019届高考物理一轮复习讲义：第5章 机械能及其守恒定律第1讲　功和功率(含答案)

第1讲　功和功率

板块一　主干梳理·夯实基础

【知识点1】　功　Ⅱ

1.做功的两个必要条件

(1)作用在物体上的力。

(2)物体在力的方向上发生的位移。

2.公式：W＝Flcosα

(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体对地的位移。

(2)该公式只适用于恒力做功。

(3)功是标量。

3.功的正负判断

【知识点2】　功率　Ⅱ

1.定义：功与完成这些功所用时间的比值。

物理意义：描述力对物体做功的快慢。

2.公式

(1)P＝，P为时间t内的平均功率。

(2)P＝Fvcosα(α为F与v的夹角)

①v为平均速度，则P为平均功率。

②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。

3.额定功率

机械正常工作时的最大输出功率。

4.实际功率

机械实际工作时的功率，要求不大于额定功率。

板块二　考点细研·悟法培优

考点1  功的正负判断与计算   [拓展延伸]

1.功的正负的判断方法

(1)恒力做功的判断：若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断。

(2)曲线运动中功的判断：若物体做曲线运动，依据F与v的方向夹角来判断。当0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。

2.功的计算方法

(1)恒力做功

(2)变力做功

①用动能定理：W＝mv－mv；

②当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车以恒定功率启动时；

③将变力做功转化为恒力做功：当力的大小不变，而方向发生变化且力的方向与速度夹角不变时，这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积。如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等；

④用F­x图象围成的面积求功；

⑤用微元法(或分段法)求变力做功：可将整个过程分为几个微小的阶段，使力在每个阶段内不变，求出每个阶段内外力所做的功，然后再求和。

(3)总功的计算

①先求物体所受的合力，再求合力的功；

②先求每个力做的功，再求各功的代数和；

③动能定理。

例1　(多选)如图所示，轻绳一端受到大小为F的水平恒力作用，另一端通过定滑轮与质量为m、可视为质点的小物块相连。开始时绳与水平方向的夹角为θ。当小物块从水平面上的A点被拖动到水平面上的B点时，位移为L，随后从B点沿斜面被拖动到定滑轮O处，BO间距离也为L。小物块与水平面及斜面间的动摩擦因数均为μ，若小物块从A点运动到O点的过程中，F对小物块做的功为WF，小物块在BO段运动过程中克服摩擦力做的功为Wf，则以下结果正确的是(　　)

A．WF＝FL(cosθ＋1)   B．WF＝2FLcosθ

C.Wf＝μmgLcos2θ   D．Wf＝FL－mgLsin2θ

哪一段距离是沿力F方向的位移大小？

提示：AO段的长度。

尝试解答　选BC。

小物块从A点运动到O点，拉力F的作用点移动的距离为AO的长度，即拉力F的位移为x＝2Lcosθ，所以拉力F做的功WF＝Fx＝2FLcosθ，A错误，B正确；由几何关系知斜面的倾角为2θ，所以小物块在BO段受到的摩擦力f＝μmgcos2θ，则Wf＝fL＝μmgLcos2θ，C正确，D错误。

总结升华

使用W＝Flcosα应注意的几个问题

(1)位移l

①“l”应取作用点的位移，如例题中力F的作用点从A点移到O点，所以位移的大小是AO的长度；

②“l”的取值一般以地面为参考系。

(2)力F

①力的独立性原理，即求某个力做的功仅与该力及物体沿该力方向的位移有关，而与其他力是否存在、是否做功无关。

②力只能是恒力。此公式只能求恒力做功。

(3)α是l与F之间的夹角。

　(多选)如图所示，建筑工人通过滑轮装置将一质量是100 kg的料车沿30°角的斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L是4 m，若不计滑轮的质量和各处的摩擦力，g取10 N/kg，则对这一过程下列说法哪些正确(　　)

A.人拉绳子的力做功为1000 J

B.人拉绳子的力做功为2000 J

C.料车的重力做功为2000 J

D.料车受到的合力对料车做的总功为0

答案　BD

解析　工人拉绳子的力：F＝mgsin30°＝250 N，工人将料车拉到斜面顶端时，力F作用点的位移：l＝2L＝8 m，人拉绳子的力做的功W＝Fl＝2000 J，故A错误，B正确。重力做功：W2＝－mgh＝－mgLsin30°＝－2000 J。故C错误。由于料车在斜面上匀速运动，则料车所受的合力为0，故W合＝0，D正确。

考点2  功率的计算   [解题技巧]

1.平均功率的计算方法

(1)利用＝。

(2)利用＝F·cosθ，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。

2.瞬时功率的计算方法

利用公式P＝F·vcosθ，其中v为t时刻的瞬时速度。

例2　[2017·海口模拟](多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则(　　)

A.3t0时刻的瞬时功率为

B.3t0时刻的瞬时功率为

C.在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为

D.在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为

(1)3t0时刻的瞬时功率如何求解？

提示：P＝3F0v，v为3t0时刻的瞬时速度。

(2)t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率如何求解？

提示：P＝，分段求力F的功。

尝试解答　选BD。

解法一：根据F­t图线，在0～2t0时间内的加速度

a1＝，

2t0时刻的速度v2＝a1·2t0＝t0，

0～2t0时间内位移x1＝·2t0＝t，

故F0做的功W1＝F0x1＝t。

在2t0～3t0时间内的加速度a2＝，

3t0时刻的速度v3＝v2＋a2t0＝t0，

故3t0时刻的瞬时功率

P3＝3F0v3＝，A错误，B正确。

在2t0～3t0时间内位移，x2＝·t0＝，

故3F0做的功W2＝3F0·x2＝，

因此在0～3t0时间内的平均功率P＝＝，C错误，D正确。

解法二：0～3t0图象与坐标轴围成的面积为物体动量的变化。

故mv＝F0·2t0＋3F0t0＝5F0t0，

3t0时刻P＝3F0v＝，A错误，B正确。

3t0时刻动能为mv2

根据动能定理W＝mv2

平均功率P′＝＝，C错误，D正确。

总结升华

求力做功的功率时应注意的问题

(1)明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。求平均功率首选P＝，其次是用P＝F·cosα，应容易求得，如求匀变速直线运动中某力的平均功率。

(2)求瞬时功率用P＝Fvcosα要注意F与v方向间的夹角α对结果的影响，功率是力与力的方向上速度的乘积。

　[2017·昆明七校调研](多选)物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。通过力和速度传感器监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律分别如图甲、乙所示。取g＝10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)

A．物体的质量m＝0.5 kg

B.物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4

C.第2 s内物体克服摩擦力做的功W＝2 J

D.前2 s内推力F做功的平均功率＝3 W

答案　ABC

解析　由题图甲、乙可知，在1～2 s内，推力F2＝3 N，物体做匀加速直线运动，其加速度a＝2 m/s2，由牛顿运动定律可得，F2－μmg＝ma；在2～3 s，推力F3＝2 N，物体做匀速直线运动，由平衡条件可知，μmg＝F3；联立解得物体的质量m＝0.5 kg，物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4，A、B正确；由速度—时间图象所围的面积表示位移可得，第2 s内物体位移x＝1 m，克服摩擦力做的功Wf＝μmgx＝2 J，C正确；第1 s内，由于物体静止，推力不做功；第2 s内，推力做功W＝F2x＝3 J，即前2 s内推力F做功为W′＝3 J，前2 s内推力F做功的平均功率＝＝ W＝1.5 W，D错误。

考点3  机车启动问题  [对比分析]

1.两种启动方式的比较

2.三个重要关系式

(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速直线运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。

(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝<vm＝。

(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt。由动能定理：Pt－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。

例3　[2018·河北高三月考](多选)下列各图是反映汽车(额定功率P额)从静止开始匀加速启动，最后做匀速直线运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图象，其中正确的是(　　)

(1)汽车从静止开始匀加速启动，能一直匀加速吗？

提示：不能。当P＝P额时再匀加速，机车则会烧毁。

(2)汽车最后匀速阶段，有什么典型特征？

提示：a＝0，F＝f。

尝试解答　选ACD。

从静止开始匀加速启动，由公式P＝Fv及题意知，当力恒定，随着速度的增加功率P增大，当P＝P额时，功率不再增加，此时，牵引力F大于阻力f，速度继续增加，牵引力减小，此后汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当F＝f时，速度达最大，做匀速直线运动。由以上分析知，B错误，A、C、D正确。

总结升华

解决机车启动问题时的四点注意

(1)首先弄清是匀加速启动还是恒定功率启动。

(2)若是匀加速启动过程，机车功率是不断改变的，但该过程中的最大功率是额定功率，匀加速直线运动阶段的最大速度小于机车所能达到的最大速度，达到额定功率后做加速度减小的加速运动。

(3)若是以额定功率启动的过程，机车做加速度减小的加速运动，匀变速直线运动的规律不能用，速度最大值等于，牵引力是变力，牵引力做的功可用W＝Pt，但不能用W＝Flcosθ计算。

(4)无论哪种启动方式，最后达到最大速度时，均满足P＝Ffvm，P为机车的额定功率。

　一列火车总质量m＝500 t，发动机的额定功率P＝6×105 W，在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力Ff是车重的0.01倍。(取g＝10 m/s2)

(1)求列车在水平轨道上行驶的最大速度；

(2)在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，求当行驶速度为v1＝1 m/s和v2＝10 m/s时，列车的瞬时加速度a1、a2的大小；

(3)列车在水平轨道上以36 km/h的速度匀速行驶时，求发动机的实际功率P′；

(4)若列车从静止开始，保持0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，求这一过程维持的最长时间。

答案　(1)12 m/s　(2)1.1 m/s2　0.02 m/s2

(3)5×105 W　(4)4 s

解析　(1)列车以额定功率行驶，当牵引力等于阻力，即F＝Ff＝kmg时，列车的加速度为零，速度达到最大值vm，则vm＝＝＝＝12 m/s。

(2)当v<vm时，列车做加速运动，若v1＝1 m/s，

则F1＝＝6×105 N，

根据牛顿第二定律得a1＝＝1.1 m/s2

若v2＝10 m/s，则F2＝＝6×104 N

根据牛顿第二定律得a2＝＝0.02 m/s2。

(3)当v＝36 km/h＝10 m/s时，列车匀速运动，则发动机的实际功率P′＝Fv＝Ffv＝5×105 W。

(4)由牛顿第二定律得F′＝Ff＋ma＝3×105 N，在此过程中，速度增大，发动机功率增大，当功率为额定功率时速度为v′，即v′＝＝2 m/s，由v′＝at得t＝＝4 s。

方法指导　变力做功求解六法

中学阶段应用功的计算公式W＝Flcosα，只能用于恒力做功情况，对于变力做功的计算则没有一个固定公式可用，但高考中变力做功问题也是经常考查的一类题目。现结合例题分析变力做功的六种求解方法。

1.化变力为恒力求变力功

变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，可以用W＝Flcosα求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。

如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。已知图中的高度是h，求绳的拉力FT对物体所做的功。假定绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计。

[答案]　Fh

[解析]　本题中，显然F与FT的大小相等，且FT在对物体做功的过程中，大小不变，但方向时刻在改变，因此本题是个变力做功的问题。但在题设条件下，人的拉力F对绳的端点(也即对滑轮机械)做的功就等于绳的拉力FT(即滑轮机械)对物体做的功。而F的大小和方向都不变，因此只要计算恒力F对绳做的功就能解决问题。

设绳的拉力FT对物体做的功为WT，由题图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F作用的绳端的位移的大小为Δl＝l1－l2＝h

由W＝Fl可知WT＝WF＝FΔl＝Fh。

2.用平均力求变力功

在求解变力做功时，若物体受到的力的方向不变，而大小随位移是成线性变化的，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为＝的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末状态所受到的力，然后用公式W＝lcosα 求此力所做的功。

把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？

[答案]　

[解析]　在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。

钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F＝＝

钉子克服阻力做的功为：WF＝Fl＝kl2

设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量：

E总＝nE0＝kl2，所以n＝。

3.用F­x图象求变力功

在F­x图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况。

[2018·云南高中检测](多选)如图所示，n个完全相同，边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的数值为(　　)

A.Mv2  B．Mv2  C.μMgl  D．μMgl

[答案]　AC

[解析]　小方块恰能完全进入粗糙水平面，说明小方块进入粗糙水平面后速度为零，以所有小方块为研究对象，根据动能定理得：Wf＝0－Mv2，所以所有小方块克服摩擦力做功为Mv2，故A正确，B错误。由于摩擦力是变力，联立Ff＝μFN和FN＝x，得Ff＝x。

画出Ff­x图象如图所示，Ff­x图象围成的面积代表克服摩擦力所做的功，故C正确，D错误。

4.用动能定理求变力功

动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力功也适用于求变力功。因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力功的首选。

[2015·海南高考] 如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为(　　)

A.mgR  B.mgR  C.mgR  D.mgR

[答案]　C

[解析]　质点在轨道最低点时受重力和支持力，根据牛顿第三定律可知，支持力FN＝2mg。如图所示，FN－mg＝m，得v＝。对质点的下滑过程应用动能定理，mgR－W＝mv2，得W＝mgR，C正确。

5.利用微元法求变力功

将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。此法在中学阶段，常应用于求解力的大小不变、方向改变但力的方向与速度夹角不变的变力做功问题。

如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R＝5.0 m的圆弧轨道A端，在拉力F作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)。拉力F大小不变始终为15 N，方向始终与物体所在点的切线成37°角；圆弧所对应的圆心角为45°，BO边为竖直方向。求这一过程中拉力F做的功。(g取10 m/s2)

[答案]　47.1 J

[解析]　将圆弧AB分成很多小段l1、l2…ln，拉力在每小段上做的功为W1、W2…Wn，因拉力F大小不变，方向始终与物体所在点的切线成37°角，所以W1＝Fl1cos37°、W2＝Fl2cos37°…Wn＝Flncos37°，则WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos37°·R＝15π J≈47.1 J。

6.利用W＝Pt求变力做功

机车功率保持不变的情况牵引力按非线性规律变化，该过程中牵引力做的功可根据W＝Pt求得。

(多选)汽车沿平直的公路以恒定功率P启动，经过一段时间t达到最大速度v，若所受阻力f始终不变，则在t这段时间内(　　)

A.汽车牵引力恒定

B.汽车牵引力做的功为Pt

C.汽车加速度不断减小

D.汽车牵引力做的功为mv2

[答案]　BC

[解析]　根据P＝Fv知，速度不断增大，则牵引力不断减小，根据牛顿第二定律得a＝，可知加速度不断减小，A错误，C正确；因功率P恒定，牵引力做功W＝Pt，B正确；根据动能定理有W－fs＝mv2－0，得W>mv2，D错误。