2019届高考物理一轮复习讲义：第5章 机械能及其守恒定律第3讲　机械能守恒定律及其应用(含答案)

第3讲　机械能守恒定律及其应用

板块一　主干梳理·夯实基础

【知识点1】　重力做功与重力势能　Ⅱ

1．重力做功的特点

(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。

(2)重力做功不引起物体机械能的变化。

2．重力做功与重力势能变化的关系

(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小，重力对物体做负功，重力势能就增大。

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。

(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取无关。

【知识点2】　弹性势能　Ⅰ

1．定义

发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫做弹性势能。

2．弹力做功与弹性势能变化的关系

(1)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－ΔEp。

(2)对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大，弹性势能越大。

【知识点3】　机械能守恒定律及其应用　Ⅱ

1．内容：在只有重力(或系统内弹力)做功的情况下，物体系统内的动能和重力势能(或弹性势能)发生相互转化，而机械能的总量保持不变。

2．常用的三种表达式

(1)守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能。

(2)转化式：ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp减。表示系统势能的减少量等于动能的增加量。

(3)转移式：ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减。表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能。

3．对机械能守恒定律的理解

(1)机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。

(2)当研究对象(除地球外)只有一个物体时，往往根据“是否只有重力(或弹力)做功”来判断机械能是否守恒；当研究对象(除地球外)由多个物体组成时，往往根据“有没有摩擦力和阻力做功”来判断机械能是否守恒。

(3)“只有重力(或弹力)做功”不等于“只受重力(或弹力)作用”，在该过程中，物体可以受其他力的作用，只要这些力不做功，机械能仍守恒。

板块二　考点细研·悟法培优

考点1  机械能守恒的判断  [深化理解]

关于机械能守恒的理解

(1)只受重力作用，系统的机械能守恒。

(2)除受重力(或弹力)之外，还受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹簧弹力做功，系统机械能守恒。

(3)除受重力(或弹力)之外，还受其他力，但其他力所做功的代数和为零，系统机械能守恒。

例1　(多选)下列关于机械能是否守恒的叙述正确的是(　　)

A．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒

B．做匀变速直线运动的物体的机械能可能守恒

C．合外力对物体做的功为零时，机械能一定守恒

D．只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒

(1)做匀速直线运动的物体机械能一定守恒吗？

提示：不一定，竖直面内的匀速直线运动机械能一定不守恒。

(2)机械能守恒的条件是什么？

提示：只有重力或系统内弹簧弹力做功。

尝试解答　选BD。

做匀速直线运动的物体，除了重力或弹力做功外，可能还有其他力做功，所以机械能不一定守恒，选项A错误。做匀变速直线运动的物体，可能只受重力或只有重力做功(如自由落体运动)，物体机械能可能守恒，选项B正确。合外力对物体做功为零时，说明物体的动能不变，但势能有可能变化，选项C错误。D中的叙述符合机械能守恒的条件，选项D正确。

总结升华

机械能是否守恒的判断方法

(1)利用机械能的定义判断(直接判断)：判断机械能是否守恒可以看物体系机械能的总和是否变化。

(2)用做功判断：若物体系只有重力或系统内弹簧弹力做功，虽受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。

(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无其他形式的能的转化，则物体系机械能守恒。

　[2016·合肥模拟](多选)如图所示，小车静止在光滑的水平导轨上，一个小球用细绳悬挂在车上无初速度释放，在小球下摆到最低点的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．绳对小球的拉力不做功

B．小球克服绳的拉力做的功等于小球减少的机械能

C．小车和球组成的系统机械能守恒

D．小球减少的重力势能等于小球增加的动能

答案　BC

解析　由于导轨光滑，没有热量产生，所以小车和球组成的系统机械能守恒，小球减少的重力势能转化为小球和车的动能，故C正确，D错误。绳对小车拉力做正功，绳对小球拉力做负功，且小球克服绳的拉力做的功等于小球减少的机械能，故A错误，B正确。

考点2  单个物体的机械能守恒  [解题技巧]

　应用机械能守恒定律的基本思路

(1)选取研究对象——物体及地球构成的系统。机械能守恒定律研究的是物体系，如果是一个物体与地球构成的系统，一般只对物体进行研究。

(2)根据物体所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。

(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。

(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。

例2　[2017·河南百校质检](多选)如图甲所示，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC，小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图乙是小球在半圆形轨道上从A运动到C的过程中，其速度的二次方与其对应高度的关系图象。已知小球在最高点C受到轨道的作用力为1.25 N，空气阻力不计，g取10 m/s2，B点为AC轨道的中点，下列说法正确的是(　　)

A．小球质量为0.5 kg

B．小球在B点受到轨道作用力为4.25 N

C．图乙中x＝25 m2/s2

D．小球在A点时重力的功率为5 W

(1)运动过程中小球机械能是否守恒？

提示：守恒，只有重力做功。

(2)最高点与最低点的v2如何联系？

提示：根据机械能守恒。

尝试解答　选BC。

由题图乙可知，小球在C点的速度大小为v＝3 m/s，轨道半径R＝0.4 m，因小球所受重力与弹力的合力提供向心力，所以小球在C点有mg＋F＝，代入数据得m＝0.1 kg，A错误；小球从B点到C点的过程，由机械能守恒可知mv2＋mgR＝mv，解得v＝17 m2/s2，因在B点是弹力提供向心力，所以有FB＝，解得F＝4.25 N，B正确；小球从A点到C点的过程，由机械能守恒定律可得mv2＋2mgR＝mv，解得小球在A点的速度v0＝5 m/s，所以题图乙中x＝25 m2/s2，C正确；因小球在A点时所受重力与速度方向垂直，所以重力的功率为0，D错误。

总结升华

机械能守恒定律的应用技巧

(1)机械能守恒定律是一种“能—能转化”关系，其守恒是有条件的。因此，应用时首先要注意弄清物体的运动过程，物体都做了哪些运动；每个运动过程机械能是否守恒，找出其各段关联量。恰当的选取参考平面找出初、末态，根据分析情况采用分段或整体列式解题，如本典例中，判断B、C两项时，就可以采用分段列机械能守恒方程式解题。

(2)如果系统只有一个物体，用守恒观点列方程较简便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化或转移的观点列方程较简便。

　(多选)如图所示，两个质量相同的小球A、B，用细线悬挂在等高的O1、O2点，A球的悬线比B球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平位置后将小球无初速度释放，不计空气阻力，以悬点所在的水平面为参考平面，则经最低点时(　　)

A．B球的动能大于A球的动能

B．A球的动能大于B球的动能

C．A球的机械能大于B球的机械能

D．A球的机械能等于B球的机械能

答案　BD

解析　空气阻力不计，小球下落过程中只有动能和重力势能之间的转化，机械能守恒，故C错误，D正确；到最低点时A球减少的重力势能较多，增加的动能较多，故A错误，B正确。

考点3  多物体组成的系统机械能守恒的应用  [解题技巧]

1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。

判断方法：看是否有其他形式的能与机械能相互转化。

2．三种守恒表达式的比较

例3　如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)

A．2R  B.  C.  D.

(1)A落地前，A、B球组成的系统机械能是否守恒？

提示：圆柱光滑，没有其他形式的能与A、B球的机械能相互转化，所以A、B球组成的系统机械能守恒。

(2)A落地后，B球做什么运动？

提示：竖直上抛。

尝试解答　选C。

A落地前，A、B组成的系统机械能守恒，设A的质量为2m，B的质量为m。

有2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，

得：v＝ ，

之后B以速度v竖直上抛，h＝＝，

所以B上升的最大高度H＝R＋h＝R。

总结升华

多物体机械能守恒问题的分析方法

(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒；

(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系；弄清每个物体机械能的变化情况；如例题中，A由静止释放重力势能减小，减小的重力势能转变为A、B两球的动能和B球的重力势能，B球动能增加，重力势能增加。

(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式。

1. [2017·烟台模拟]如图所示，可视为质点的小球A和B用一根长为0.2 m的轻杆相连，两球质量相等，开始时两小球置于光滑的水平面上，并给两小球一个2 m/s的初速度，经一段时间两小球滑上一个倾角为30°的光滑斜面，不计球与斜面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2，在两小球的速度减小为零的过程中，下列判断正确的是(　　)

A．杆对小球A做负功

B．小球A的机械能守恒

C．杆对小球B做正功

D．小球B速度为零时距水平面的高度为0.15 m

答案　D

解析　由题意可知，A、B两球在上升中重力做负功，做减速运动；假设没有杆连接，则A上升到斜面时，B还在水平面上运动，即A在斜面上做减速运动，B在水平面上做匀速运动，因有杆存在，所以是B推着A上升，因此杆对A做正功，故A错误；因杆对A球做正功，故A球的机械能不守恒，故B错误；由以上分析可知，杆对球B做负功，故C错误；根据系统机械能守恒，可得：mgh＋mg·(h＋Lsin30°)＝×2mv2，解得B球距水平面的高度h＝0.15 m，故D正确。

2. 如图所示，在倾角为30°的光滑斜面体上，一劲度系数为k＝200 N/m的轻质弹簧一端连接固定挡板C，另一端连接一质量为m＝4 kg的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为m的物体B相连，细绳与斜面平行，斜面足够长，用手托住物体B使细绳刚好没有拉力，然后由静止释放，求：

(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力；

(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；

(3)物体A的最大速度大小。

答案　(1)30 N　(2)20 cm　(3)1 m/s

解析　(1)弹簧恢复原长时，物体A、B的加速度大小相同，

对B分析：mg－T＝ma，

对A分析：T－mgsin30°＝ma，

代入数据解得：T＝30 N。

(2)初始位置，弹簧的压缩量为：

x1＝＝10 cm，

当物体A速度最大时，即物体A的加速度为0，对物体A分析有：

mg＝kx2＋mgsin30°，

弹簧的伸长量为：x2＝10 cm，

所以物体A沿斜面上升的距离为：

x＝x1＋x2＝20 cm。

(3)因为x1＝x2，所以弹簧的弹性势能没有改变，由系统机械能守恒得：

mg(x1＋x2)－mg(x1＋x2)sin30°＝·2m·v2，

解得：v＝1 m/s。

建模提能4　机械能守恒中的轻杆模型

1.模型构建

轻杆两端各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型。

2．模型条件

(1)忽略空气阻力和各种摩擦。

(2)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。

3．模型特点

(1)杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。

(2)对于杆和球组成的系统，没有外力对系统做功，因此系统的总机械能守恒。

如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B处各固定一质量为m的球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放摆下。求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？

[答案]　WA＝－0.2 mgL　WB＝0.2mgL

[解析]　设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB。如果把轻杆、地球、两球构成的系统作为研究对象，那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒。若取B的最低点所在水平面为零重力势能参考平面，可得2mgL＝mv＋mv＋mgL，又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB＝2vA

由以上两式得vA＝ ，vB＝

根据动能定理，可解出杆对A球、B球做的功，对于A球有WA＋mg＝mv－0，所以WA＝－0.2mgL

对于B球有WB＋mgL＝mv－0，所以WB＝0.2mgL。

名师点睛

利用轻杆模型求解问题时应注意的三点

(1)本类题目很容易错误认为两球的线速度相等，有时还错误认为单个小球的机械能守恒。

(2)杆对球的作用力方向不再沿着杆，杆对小球B做正功从而使它的机械能增加，同时杆对小球A做负功，使小球A的机械能减少，系统的机械能守恒。

(3)用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：

①若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。

②“关联速度法”：两物体沿杆方向速度大小相等。

[2017·广东肇庆二模]如图所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球A和B，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为l。先将杆AB竖直靠放在竖直墙上，轻轻振动小球B，使小球B在水平面上由静止开始向右滑动，当小球A沿墙下滑距离为l 时，下列说法正确的是(不计一切摩擦)(　　)

A．小球A和B的速度都为

B．小球A和B的速度都为

C．小球A、B的速度分别为和

D．小球A、B的速度分别为和

答案　D

解析　如图所示，小球A沿墙下滑l时，设小球A向下的速度为v1，小球B水平向右的速度为v2，则它们沿杆方向的分速度是相等的，且此时杆与水平面夹角为30°，故v1sin30°＝v2cos30°，得v1＝v2，则A、B错误；又因为杆下滑过程机械能守恒，故有mgl＝mg×＋mv＋mv，联立两式解得v2＝，v1＝，故C错误，D正确。