2019届高考物理一轮复习讲义：第5章 机械能及其守恒定律第2讲　动能定理及其应用(含答案)

第2讲　动能定理及其应用

板块一　主干梳理·夯实基础

【知识点1】　动能　Ⅱ

1.定义：物体由于运动而具有的能。

2.公式：Ek＝mv2。

3.物理意义：动能是状态量，是标量(选填“矢量”或“标量”)，只有正值，动能与速度方向无关。

4.单位：焦耳，1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2。

5.动能的相对性：由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性。

6.动能的变化：物体末动能与初动能之差，即ΔEk＝mv－mv。

【知识点2】　动能定理　Ⅱ

1.内容：合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。

2.表达式

(1)W＝ΔEk。

(2)W＝Ek2－Ek1。

(3)W＝mv－mv。

3.物理意义：合外力的功是物体动能变化的量度。

4.适用范围广泛

(1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动。

(2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功。

(3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用。

板块二　考点细研·悟法培优

考点1  动能定理的理解和应用  [拓展延伸]

1.做功的过程就是能量转化的过程，动能定理表达式中的“＝”的意义是一种因果关系在数值上相等的符号。

2.动能定理叙述中所说的“外力”，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他力。

3.动能定理中涉及的物理量有F、l、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的问题时，优先考虑使用动能定理。

4.若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可以分段考虑，也可以整个过程考虑。

例1　如图所示，质量为m的滑块从h高处的a点沿倾斜轨道ab滑入水平轨道bc(两轨道平滑连接)，滑块与倾斜轨道及水平轨道间的动摩擦因数相同。滑块在a、c两点时的速度大小均为v、ab长度与bc长度相等。空气阻力不计，则滑块从a到c的运动过程中(　　)

A．滑块的动能始终保持不变

B.滑块在bc过程克服阻力做的功一定等于

C.滑块经b点时的速度大于

D.滑块经b点时的速度等于

(1)滑块从b到c的过程中摩擦力做功吗？做正功还是负功？

提示：做功。做负功。

(2)滑块在ab段和bc段摩擦力做功相同吗？

提示：不同，位移相同但摩擦力不同。

尝试解答　选C。

由题意知，在滑块从b运动到c的过程中，由于摩擦力做负功，动能在减少，所以A错误；从a到c的运动过程中，根据动能定理：mgh－Wf＝0，可得全程克服阻力做功Wf＝mgh，滑块对ab段轨道的正压力小于对bc段的正压力，故在ab段滑块克服摩擦力做的功小于在bc段克服摩擦力做的功，即从a到b克服摩擦力做的功0<Wf′<mgh，B错误。设在b点的速度为v′，根据动能定理：mgh－Wf′＝mv′2－mv2，可得 <v′<，故C正确，D错误。

总结升华

1.应用动能定理解题应抓好“两状态，一过程”

“两状态”即明确研究对象的始、末状态的速度或动能情况，“一过程”即明确研究过程，确定这一过程研究对象的受力情况和位置变化或位移信息。

2.应用动能定理解题的基本思路

　[2017·江西新余一模]我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。如图所示，质量m＝60 kg的运动员从长直轨道AB的A处由静止开始以加速度a＝3.6 m/s2匀加速下滑，到达助滑道末端B时速度vB＝24 m/s，A与B的竖直高度差H＝48 m。为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧，助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h＝5 m，运动员在B、C间运动时阻力做功W＝－1530 J，g取10 m/s2。

(1)求运动员在AB段下滑时受到阻力Ff的大小；

(2)若运动员能承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大？

答案　(1)144 N　(2)12.5 m

解析　(1)运动员在AB段上做初速度为零的匀加速运动，设AB段的长度为x，斜面的倾角为α，则有v＝2ax，

根据牛顿第二定律得mgsinα－Ff＝ma，

又sinα＝，

由以上三式联立解得Ff＝144 N。

(2)在由B到达C的过程中，根据动能定理有

mgh＋W＝mv－mv

设运动员在C点所受的支持力为FN，由牛顿第二定律得FN－mg＝m

由运动员能承受的最大压力为其所受重力的6倍，即有FN＝6mg，联立解得R＝12.5 m，

所以圆弧的半径R至少为12.5 m。

考点2  动能定理与图象结合问题  [拓展延伸]

解决物理图象问题的基本步骤

1.观察题目给出的图象，弄清纵坐标、横坐标所对应的物理量及图线所表示的物理意义。

2.根据物理规律推导出纵坐标与横坐标所对应的物理量间的函数关系式。

3.将推导出的物理规律与数学上与之相对应的标准函数关系式相对比，找出图线的斜率、截距、图线的交点，弄清图线与坐标轴围成的面积所对应的物理意义，分析解答问题。或者利用函数图线上的特定值代入函数关系式求物理量。

例2　[2018·河南陕州中学月考](多选)一质量为2 kg的物体，在水平恒定拉力的作用下以一定的初速度在粗糙的水平面上做匀速直线运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出了拉力随位移变化的关系图象。已知重力加速度g＝10 m/s2，由此可知(　　)

A．物体与水平面间的动摩擦因数约为0.35

B.减速过程中拉力对物体所做的功约为13 J

C.匀速运动时的速度约为6 m/s

D.减速运动的时间约为1.7 s

(1)F­x图象的面积表示什么？

提示：F做的功。

(2)开始物体在粗糙水平面上做匀速直线运动，F和摩擦力大小关系如何？

提示：大小相等，是平衡力。

尝试解答　选ABC。

F­x图象围成的面积代表拉力F所做的功，由图知减速阶段F­x围成面积约13个小格，每个小格表示1 J则约为13 J，故B正确。刚开始匀速运动，则F＝μmg，由图象知F＝7 N，则μ＝＝0.35，故A正确。全程应用动能定理：WF－μmgs＝0－mv，其中WF＝(7×4＋13) J＝41 J，得v0＝6 m/s，故C正确。由于不是匀减速直线运动，没办法求减速运动的时间。

总结升华

与动能定理结合紧密的几种图象

(1)v­t图：由公式x＝vt可知，v­t图线与坐标轴围成的面积表示物体的位移。

(2)F­x图：由公式W＝Fx可知，F­x图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功。

(3)P­t图：由公式W＝Pt可知，P­t图线与坐标轴围成的面积表示力所做的功。

　[2017·安徽合肥质检]A、B两物体分别在水平恒力F1和F2的作用下沿水平面运动，先后撤去F1、F2后，两物体最终停下，它们的v­t图象如图所示。已知两物体与水平面间的滑动摩擦力大小相等，则下列说法正确的是(　　)

A．F1、F2大小之比为1∶2

B.F1、F2对A、B做功之比为1∶2

C.A、B质量之比为2∶1

D.全过程中A、B克服摩擦力做功之比为2∶1

答案　C

解析　由图象与坐标轴围成的面积表示位移，可知两物体的位移相同，已知两物体与水平面间的滑动摩擦力大小相等，故全过程中两物体克服摩擦力做功相等，D项错；由动能定理可知，两物体所受外力做的功与克服摩擦力做的功相等，故外力做的功相同，B项错；由图象可知，A、B在外力作用下的位移之比为1∶2，由功的定义可知，F1∶F2＝2∶1，A项错；由速度图象可知，两物体匀减速直线运动过程中的加速度大小之比为1∶2，由牛顿第二定律有：Ff＝ma可知两物体质量之比为2∶1，C项正确。

考点3  应用动能定理解决曲线运动问题  [规律总结]

在曲线运动中，若只涉及到位移、速度，而不涉及时间时，优先考虑动能定理。主要注意：

(1)弄清物体的运动过程，物体都做了哪些运动。

(2)分析每个运动过程中，物体的受力情况和运动情况，判断有没有临界的情况出现。

(3)抓住运动过程中起关联作用的物理量，如速度、位移等，同时关注动能定理中的初、末态在什么位置。

(4)最后根据分析的情况，确定是分段还是整体运用动能定理列式计算。

例3　如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，已知OP＝，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B。

(1)求小球到达B点时的速率；

(2)若不计空气阻力，则初速度v0为多少？

(3)若初速度v0′＝3，小球仍能恰好到达B点，则小球在从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功？

(1)小球恰好到达最高点B时，细线给小球有力的作用吗？

提示：没有，只受重力。

(2)细线碰到钉子瞬间，小球的速度发生改变吗？

提示：不变，因为力与速度垂直。

尝试解答　(1) 　(2) 　(3)mgL。

(1)小球恰好到达最高点B，所以mg＝，

得vB＝ 。

(2)从A到B的过程由动能定理得

－mg＝mv－mv，

可得v0＝ 。

(3)从A到B过程由动能定理得

－mg－W＝mv－mv0′2

可得W＝mgL。

总结升华

动能定理在圆周运动中的应用

竖直面内圆周运动经常考查物体在最高点和最低点的状态，最高点的速度和最低点的速度可以通过动能定理联系起来，所以竖直面内的圆周运动，经常和动能定理联系起来应用。

　如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段倾斜直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上的某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围。

答案　R≤h≤5R

解析　设物块在圆形轨道最高点的速度为v，由动能定理得mg(h－2R)＝mv2①

物块在圆形轨道最高点受到的力为重力mg和轨道的压力FN

重力与压力的合力提供向心力，则有

mg＋FN＝m②

物块能够通过最高点的条件是FN≥0③

由②③式得v≥④

由①④式得h≥R

按题目的要求，有FN≤5mg⑤

由②⑤式得v≤⑥

由①⑥式得h≤5R。则h的取值范围是R≤h≤5R。

满分指导3　利用动能定理解决多过程问题

(18分)如图所示，质量为m＝1 kg的可视为质点的小物体轻轻放在匀速运动的传送带上的P点，随传送带运动到A点后水平抛出，小物体恰好无碰撞地①沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道下滑，圆弧轨道与质量为M＝2 kg的足够长的小车左端在最低点O点相切，小物体在O点滑上小车，水平地面光滑，当小物体运动到障碍物Q处时与Q发生②无机械能损失的碰撞。碰撞前小物体和小车已经相对静止，而小车可继续向右运动(小物体始终在小车上)，小车运动过程中和圆弧无相互作用。已知圆弧半径R＝1.0 m，圆弧对应的圆心角θ为53°，A点距水平地面的高度h＝0.8 m，小物体与小车间的动摩擦因数为μ＝0.1，重力加速度g＝10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。试求：

(1)小物体离开A点的③水平速度v1；

(2)小物体经过O点时④对轨道的压力大小；

(3)第一次碰撞后直至静止，小物体⑤相对小车的位移和⑥小车做匀减速运动的总时间。

[审题　抓住信息，准确推断]　

[破题　形成思路，快速突破]　

(1)小物体离开A点的水平速度的求解：

①选取研究过程：小物体从A到B；

②列出运动学方程：

a．竖直方向：v＝2gh；b.B点：tanθ＝。

(2)小物体经过O点时对轨道的压力的求解：

①选取研究过程：小物体从A到O点；

②列出动能定理方程：

mg(h＋R－Rcosθ)＝mv－mv；

③小物体在O点。

a．选择规律：牛顿第二定律；

b．方程式：FN－mg＝m。

(3)小物体相对小车的位移和小车做匀减速运动的总时间的求解思路。

①请写出求小物体相对小车的位移的思路。

提示：先利用牛顿第二定律求出m和M的加速度，再利用运动学公式求出小物体和小车的共同速度vt，最后利用功能关系求出l相。

②请写出求小车做匀减速运动的总时间的思路。

提示：小车从小物体碰撞后开始做匀减速运动，利用牛顿第二定律和运动学公式求时间。

[解题　规范步骤，水到渠成]　

(1)对小物体由A到B有：v＝2gh(2分)

在B点：tanθ＝，解得v1＝3 m/s(3分)

(2)由A到O，根据动能定理有：

mg(h＋R－Rcosθ)＝mv－mv(2分)

在O点，由牛顿第二定律有：FN－mg＝(1分)

解得：v0＝ m/s，FN＝43 N(1分)

由牛顿第三定律得小物体对轨道的压力为

FN′＝FN＝43 N，方向竖直向下(1分)

(3)摩擦力Ff＝μmg＝1 N，

加速度am＝μg＝1 m/s2，aM＝＝0.5 m/s2，(2分)

小物体滑上小车后经过时间t达到的共同速度为vt，则

t＝＝，得vt＝ m/s(2分)

由于碰撞不损失能量，小物体在小车上重复做匀减速和匀加速运动，相对小车始终向左运动，小物体与小车最终静止，摩擦力做功使动能全部转化为内能，故有：

Ff·l相＝(M＋m)v，得

l相＝5.5 m(2分)

小车从小物体碰撞后开始匀减速运动，(每个减速阶段)加速度不变，aM＝＝0.5 m/s2，vt＝aMt，得t＝ s(2分)

[点题　突破瓶颈，稳拿满分]　

(1)常见的思维障碍

①无法理解“沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆弧轨道下滑”的含义，导致无法求解A点的水平速度；

②小物体滑上小车后没有判断达到共同速度这一重要环节，导致把l绝对当成l相而出错。

(2)因解答不规范导致的失分：小物体在O点的牛顿第二定律方程式漏掉重力而写成FN＝m导致出错。