2019届高考数学二轮复习查漏补缺练习：第23讲《正弦定理和余弦定理的应用》(含解析)

课时作业(二十三)　第23讲　正弦定理和余弦定理的应用时间 / 45分钟　分值 / 90分　　　　　　　　　　　　　基础热身1.在相距500 m的A,B两点处测量目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离为               (　　)A.125 m B.250 mC.100 m D.75 m2.如图K23-1,一艘海轮从A处出发,以每小时42海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,20分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是              (　　)A.7 海里 B.8 海里C.10 海里 D.12 海里3.如图K23-2所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与B之间的距离为              (　　)A.a km B.2a kmC.a km D.a km4.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h,则下午2时两船之间的距离是　　　　n mile.    能力提升5.已知A,B,C是海面上的三座岛屿,测得∠ABC=30°,∠BAC=105°,从岛屿A到岛屿C需要30 min,按照同样的速度,从岛屿A到岛屿B需要(取≈1.4,≈1.7)              (　　)A.51 min B.42 minC.39 min D.36 min6.如图K23-3,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30 m,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于(　　)A.5 mB.15 mC.5 mD.15 m7.如图K23-4,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18 km,速度为1000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1 min后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km,参考数据:≈1.732)               (　　)A.11.4 km B.6.6 kmC.6.5 km D.5.6 km8.如图K23-5所示,一艘海轮从A处出发,测得灯塔在海轮的北偏东15°方向,与海轮相距20 n mile的B处,海轮按北偏西60°的方向航行了30 min后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向,则海轮的速度为              (　　)A. n mile/min B. n mile/minC. n mile/min D. n mile/min9.校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10 m(如图K23-6所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50 s,要求升旗手匀速升旗,则升旗速度是               (　　)A.0.4 m/s B.0.6 m/sC.0.7 m/s D.0.8 m/s 10.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距　　　　m. 11.如图K23-7,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=　　　　m. 12.(12分)如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20 n mile的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,求cos θ的值.      13.(13分)某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的速度,采用如下办法:在岸边设置两个观察点A,B,且AB长为80 m,当航模在C处时,测得∠ABC=105°和∠BAC=30°,经过20 s后,航模直线航行到D处,此时测得∠BAD=90°和∠ABD=45°.请你根据以上条件求出航模的速度.(答案保留根号)   难点突破14.(5分)如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为              (　　)A.14 h B.15 hC.16 h D.17 h15.(5分)如图,有一块半径为20米,圆心角∠AOB=的扇形展示台,展示台被分成了四个区域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC和扇形BOD(其中∠AOC=∠BOD).某次菊花展分别在这四个区域按上述顺序依次摆放泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜,预计这三种菊花展示带来的日效益依次是50元/米2,30元/米2,40元/米2.为使预计日总效益最大,∠COD的余弦值应等于　　　　.    课时作业(二十三)1.B　[解析] 在△ABC中,由已知可得∠ACB=45°,由正弦定理得=,所以AC==250(m).故选B.2.A　[解析] 依题意,在 △ABC中,AB=42×=14(海里),∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=,解得BC=7(海里).故选A. 3.D　[解析] 由题图可知,∠ACB=120°,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=a2+a2-2·a·a·-=3a2,解得AB=a(km).故选D.4.70　[解析] 设两船之间的距离为d n mile,则d2=502+302-2×50×30×cos 120°=4900,所以d=70(n mile),即两船相距70 n mile.5.B　[解析] 设从岛屿A到岛屿C的速度为v,从岛屿A到岛屿B需要t min,由正弦定理,得=,得t==30≈42(min).故选B.6.D　[解析] 在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°,由正弦定理得=,所以BC=15(m).在直角三角形ABC中,AB=BCtan∠ACB=15×=15(m).故选D.7.B　[解析] 因为AB=1000×=(km),∠ACB=45°,在△ABC中,由正弦定理得BC=·sin 30°=(km),所以航线离山顶的高度h=sin 75°=×sin(45°+30°)≈11.4(km).所以山顶的海拔高度为18-11.4=6.6(km).故选B.8.C　[解析] 由已知得∠ACB=45°,∠B=60°,由正弦定理得=,所以AC===10(n mile),所以海轮航行的速度为=(n mile/min).故选C.9.B　[解析] 依题意可知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,所以∠EAC=180°-45°-105°=30°.由正弦定理可知=,所以AC==20(m).所以在直角三角形ABC中,AB=AC·sin∠ACB=20×=30(m).因为国歌时长为50 s,所以升旗速度为=0.6(m/s).故选B.10.10　[解析] 如图,设炮台的顶部为A,底部为O,两条小船分别为M,N,且由炮台顶部测得M的俯角为60°,由炮台顶部测得N的俯角为45°,则AO=30 m,∠AMO=60°,∠ANO=45°,∠MON=30°,ON=AOtan 45°=30(m),OM=AOtan 30°=×30=10(m),在△MON中,由余弦定理得MN===10(m). 11.100　[解析] 依题意,在△ABC中,AB=600 m,∠BAC=30°,∠ACB=75°-30°=45°,由正弦定理得=,即=,所以BC=300(m).在△BCD中,∠CBD=30°,CD=BCtan∠CBD=300×tan 30°=100(m).12.解:在△ABC中,AB=40 n mile,AC=20 n mile,∠BAC=120°,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2800,得BC=20(n mile).由正弦定理,得=,所以sin∠ACB=·sin∠BAC=.由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB=.由θ=∠ACB+30°,得cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°=.13.解:在△ABD中,因为∠BAD=90°,∠ABD=45°,所以∠ADB=45°,所以AD=AB=80 m,所以BD=80 m.在△ABC中,∠ACB=180°-105°-30°=45°,由正弦定理得=,所以BC===40(m).在△DBC中,DC2=DB2+BC2-2DB·BCcos 60°=(80)2+(40)2-2×80×40×=9600.所以DC=40(m),航模的速度v==2(m/s).故航模的速度为2 m/s.14.B　[解析] 记开始热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达B点位置,在△OAB中,OA=600,AB=20t,∠OAB=45°,根据余弦定理得OB2=6002+400t2-2×600×20t×,令OB2≤4502,得4t2-120t+1575≤0,解得≤t≤,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为-=15(h).15.　[解析] 设∠COD=θ0<θ<,则∠AOC=∠BOD=-.展示台的各区域的面积依次为S△OCD=×202sin θ=200sin θ,S弓形CMD=×202×θ-×202sin θ=200θ-200sin θ,S扇形AOC=S扇形BOD=×202×-=200-,所以预计日总效益y=S△OCD×50+S弓形CMD×30+(S扇形AOC+S扇形BOD)×40=20002sin θ-θ+.令f(θ)=2sin θ-θ+,则f'(θ)=2cos θ-1.当0<θ<时,f'(θ)>0,当<θ<时,f'(θ)<0,所以当f'(θ)=0,即cos θ=时,f(θ)取得最大值,即预计日总效益最大,所以∠COD的余弦值等于.