2020届高考数学一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 5(含解析)

【课时训练】第5节　函数的单调性与最值

一、选择题

1.(2018安徽淮北一中四模)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是(　　)

A.y=ln(x＋2) B.y=－

C.y=x   D.y=x＋

答案为：A

解析：函数y=ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数.

2.(2018湖南邵阳第二次联考)如果二次函数f(x)=3x2＋2(a－1)x＋b在(－∞，1)上是减函数，则(　　)

A.a=－2 B.a=2

C.a≤－2 D.a≥2

答案为：C

解析：二次函数f(x)的对称轴为x=－，由题意知－≥1，即a≤－2.

3.(2018重庆一中期中)给定函数①y=x；②y=log(x＋1)；③y=|x－1|；④y=2x＋1.其中在(0,1)上为减函数的是(　　)

A.①② 　  B.②③

C.③④  　 D.①④

答案为：B

解析：①y=x在(0,1)上单调递增；②∵t=x＋1在(0,1)上单调递增，而y=logt在(0,1)上单调递减，故y=log(x＋1)在(0,1)上单调递减；③结合图象(图略)可知y=|x－1|在(0,1)上单调递减；④∵u=x＋1在(0,1)上单调递增，y=2u在(0,1)上单调递增，故y=2x＋1在(0,1)上单调递增.故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.

4.(2018湖北省级示范高中期中联考)若f(x)=－x2＋2ax与g(x)=在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)

A.(－1,0)∪(0,1) B.(－1,0)∪(0,1]

C.(0,1) D.(0,1]

答案为：D

解析：由于g(x)=在区间[1,2]上是减函数，所以a＞0；由于f(x)=－x2＋2ax在区间[1,2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x=a，则a≤1.综上有0＜a≤1.故选D.

5.(2018四川名校第一次联考)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则(　　)

A.f(－1)<f(3) 　 B.f(0)>f(3)　　

C.f(－1)=f(3)   D.f(0)=f(3)

答案为：A

解析：依题意得f(3)=f(1)，且－1<1<2.又函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，则f(－1)<f(1)=f(3).

6.(2018湖北华大新联盟考试)若函数f(x)=2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则实数a的取值范围是(　　)

A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)

C.(－∞，1) D.(－∞，1]

答案为：B

解析：易知，函数f(x)=2|x－a|＋3的增区间为[a，＋∞)，减区间为(－∞，a].

因为函数f(x)=2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a>1.故选B.

7.(2018九江模拟)已知函数f(x)=log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)

A.f(x1)<0，f(x2)<0  B.f(x1)<0，f(x2)>0

C.f(x1)>0，f(x2)<0 D.f(x1)>0，f(x2)>0

答案为：B

解析：∵函数f(x)=log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)=0，

∴当x1∈(1,2)时， f(x1)<f(2)=0；当x2∈(2，＋∞)时，

f(x2)>f(2)=0，即f(x1)<0, f(x2)>0.

8.(2018山东潍坊四县联考)已知y=f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则a的取值范围是(　　)

A. B.(0，＋∞)

C. D.(－∞，0)∪

答案为：C

解析：∵f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)＜f(2a－1)，∴解得0<a<.故选C.

二、填空题

9.(2018山西太原模拟)已知函数f(x)=，x∈[2,5]，则f(x)的最大值是________.

答案为：3

解析：函数f(x)=1＋在[2,5]上为减函数，故其最大值为f(2)=1＋2=3.

10.(2019四川成都外国语学校段考)函数f(x)=log2 (x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.

答案为：(－4,4]

解析：因为函数f(x)=log2(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，所以当x∈[2，＋∞)时，x2－ax＋3a>0且函数g(x)=x2－ax＋3a为增函数，即≤2且f(2)=4＋a>0，解得－4<a≤4.

11.(2018湖北荆州模拟)设函数f(x)=g(x)=x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________.

答案为：[0,1)

解析：由题意知

g(x)=

函数图象如图所示，由图象可得函数g(x)的单调递减区间是[0,1).

12.(2018辽宁大连质检)已知函数f(x)=则f(x)的最小值是________.

答案为：2　－3

解析：当x≥1时，x＋－3≥2 －3=2　－3，当且仅当x=，即x=时等号成立，此时f(x)min=2　－3＜0；当x＜1时，lg(x2＋1)≥lg(02＋1)=0，此时f(x)min=0.所以f(x)的最小值为2　－3.

三、解答题

13.(2018河南信阳调研)已知函数f(x)=(x≠a).

(1)若a=－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增；

(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围.

(1)【证明】任取x1<x2<－2，

则f(x1)－f(x2)=－=.

∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)上单调递增.

(2)【解】任取1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)=－=.∵a>0，x2－x1>0，∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤1.综上所述知a的取值范围是(0,1].

14.(2018广西名校联考)已知函数f(x)=ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值.

【解】f(x)=ax＋(1－x)=x＋.当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0,1]上为增函数，∴g(a)=f(0)=；当0<a<1时，a－<0，此时f(x)在[0,1]上为减函数，∴g(a)=f(1)=a；当a=1时， f(x)=1，此时g(a)=1.∴g(a)=∴g(a)在(0,1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数.又a=1时，有a==1，∴当a=1时，g(a)取得最大值1.