2020届高考数学一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 6(含解析)

【课时训练】第6节　函数的奇偶性与周期性

一、选择题

1.(2018河南洛阳统考)下列函数为奇函数的是(　　)

A.f(x)=　 B.f(x)=ex

C.f(x)=cos x   D.f(x)=ex－e－x

答案为：D

解析：对于A，定义域不关于原点对称，故不是；对于B, f(－x)=e－x=≠－f(x)，故不是；对于C，f(－x)=cos(－x)=cos x≠－f(x)，故不是；对于D，f(－x)=e－x－ex=－(ex－e－x)=－f(x)，是奇函数，故选D.

2.(2018江南十校联考)设函数f(x)=x＋sin x(x∈R)，则下列说法错误的是(　　)

A.f(x)是奇函数 B.f(x)在R上单调递增 

C.f(x)的值域为R   D.f(x)是周期函数

答案为：D

解析：因为f(－x)=－x＋sin(－x)=－(x＋sin x)=－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f ′(x)=1＋cos x≥0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，故D错误.

3.(2018兰州模拟)已知函数f(x)=ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　)

A.－　 B.　

C.－ D.

答案为：B

解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)=f(x)，∴b=0.又a－1=－2a，∴a=，∴a＋b=.故选B.

4.(2018四川遂宁一模)已知函数f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)=f(x)，当x∈(－2,0)时，f(x)=2x2，则f(2 019)=(　　)

A.－2 B.2　

C.－98　 D.98

答案为：B

解析：由f(x＋4)=f(x)知，函数f(x)的周期为4，则f(2 019)=f(504×4＋3)=f(3)，

又f(3)=f(－1)，且f(－1)=2，∴f(2 019)=2.

5.(2018安徽十大名校年联考)设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0<x<2时，f(x)=－ln x，则ef()的值为(　　)

A. B.

C. D.

答案为：D

解析：因为函数以4为周期，所以f=f=f=－f=ln ，所以ef()=eln =.故选D.

6.(2018东北三校二模)已知偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)为奇函数，且f(2)=3，则f(5)＋f(6)的值为(　　)

A.－3 B.－2

C.2 D.3

答案为：C

解析：依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且在R上是奇函数，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以f(－2)=－f(2)=0，结合图象可知f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2).故选C.

7.(2018福建泉州模拟)已知函数f(x)=若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围是(　　)

A.(1，＋∞)

B.(2，＋∞)

C.(－∞，－1)∪(1，＋∞)

D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)

答案为：B

解析：由题意，偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，即不等式f(a)≥f(x)对任意x∈[1,2]恒成立，即不等式f(|a|)≥f(|x|)对任意x∈[1,2]恒成立，所以|a|≤|x|对任意x∈[1,2]恒成立，所以|a|≤1，则－1≤a≤1.故选B.

8.(2018江西九江七校联考)已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)＋f(x)=0，y=f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(2)=4，则f(2 014)=(　　)

A.0 　　 B.－4　　　

C.－8   D.－16

答案为：B

解析：由题意可知，函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋6)=－f(x)，∴f(x＋12)=f [(x＋6)＋6]=－f(x＋6)=f(x)，∴函数f(x)的周期T=12.把y=f(x－1)的图象向左平移1个单位得y=f(x－1＋1)=f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)=f(167×12＋10)=f(10)=f(10－12)=f(－2)=－f(2)=－4.故选B.

二、填空题

9.(2018山东菏泽模拟)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，且当0<x<1时，f(x)=9x，则f＋f(2)=________.

答案为：－3

解析：∵函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，

∴f=f=f=－f.

又当0<x<1时，f(x)=9x，∴f=－9=－3.

又f(2)=f(0)=0，∴f＋f(2)=－3.

10.(2018广东珠海二中、斗门一中联考)若函数f(x)=ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，则f(2a－b)=________.

答案为：5

解析：∵函数f(x)=ax2＋bx＋1是定义在[－1－a,2a]上的偶函数，∴－1－a＋2a=0，即a=1.

∵f(x)=f(－x)，

∴ax2＋bx＋1=ax2－bx＋1，∴b=0，

即f(x)=x2＋1.

则f(2a－b)=f(2)=5.

11.(2018山东泰安模拟)已知函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时， f(x)=＋1，则当x<0时， f(x)=________.

答案为：－－1

解析：∵f(x)为奇函数，且x>0时， f(x)=＋1，∴当x<0时，即－x>0，有 f(x)=－f(－x)=－(＋1)，即x<0时， f(x)=－(＋1)=－－1.　

12.(2018山东烟台模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2＋2x.若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是________.

答案为：(－2,1)

解析：∵f(x)是奇函数，∴当x＜0时， f(x)=－x2＋2x.做出函数f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数.由f(2－a2)＞f(a)，得2－a2＞a，解得－2＜a＜1.

三、解答题

13.(2018云南民族中学月考)已知函数f(x)=是奇函数.

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.

【解】(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)=－(－x)2＋2(－x)=－x2－2x.

又f(x)为奇函数，所以f(－x)=－f(x)，于是x<0时， f(x)=x2＋2x=x2＋mx，所以m=2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

结合f(x)的图象(如图所示)知

所以1＜a≤3，

故实数a的取值范围是(1,3].

14.(2018天津六校期中联考)已知函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)＋f(x2).

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果f(4)=1，f(x－1)<2, 且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围.

【解】(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)＋f(x2)，∴令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，∴f(1)=0.

(2)f(x)为偶函数.

证明：令x1=x2=－1，有f(1)=f(－1)＋f(－1)，

∴f(－1)=f(1)=0.

令x1=－1，x2=x，有f(－x)=f(－1)＋f(x)，

∴f(－x)=f(x)，∴f(x)为偶函数.

(3)依题意有f(4×4)=f(4)＋f(4)=2，

又由(2)知， f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16).

∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

∴0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1.

∴x的取值范围是(－15,1)∪(1,17).