2020届高考数学一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 9(含解析)

【课时训练】第9节　对数与对数函数

一、选择题

1.(2018天津模拟)已知a=log25，b=log5(log25)，c=－0.52，则a，b，c的大小关系为(　　)

A.a<b<c 　 B.b<c<a

C.c<b<a   D.b<a<c

答案为：B

解析：a=log25>log24=2，b=log5(log25)∈(0,1)，c=－0.52=20.52∈(1,2)，可得b<c<a.故选B.

2.(2018苏北四市联考)已知b>0，log5b=a，lg b=c，5d=10，则下列等式一定成立的是(　　)

A.d=ac B.a=cd　

C.c=ad   D.d=a＋c

答案为：B

解析：由已知得5a=b,10c=b，∴5a=10c.∵5d=10，∴5dc=10c，则5dc=5a，∴dc=a.故选B.

3.(2018江西赣州模拟)已知函数f(x)=

则f(－2 018)=(　　)

A.0 B.1 

C.log2 3 D.2

答案为：B

解析：∵x≤0时，f(x)=f(x＋4)，

∴x≤0时函数是周期为4的周期函数.

∵－2 018=－504×4－2，∴f(－2 018)=f(－2).

又f(－2)=f(－2＋4)=f(2)=log22=1.故选B.

4.(2018长春模拟)函数y=logax与直线y=－x＋a在同一坐标系中的图象可能是(　　)

A　　　　　　B　　　　　　C　 　　　　D

答案为：A

解析：当a＞1时，函数y=logax的图象为选项B，D中过点(1,0)的曲线，此时函数y=－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a＞1，B，D中的图象都不符合要求；当0＜a＜1时，函数y=logax的图象为选项A，C中过点(1,0)的曲线，此时函数y=－x＋a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0＜a＜1，选项A中的图象符合要求，选项C中的图象不符合要求.

5.(2018福州质检)已知a=ln 8，b=ln 5，c=ln －ln，则(　　)

A.a<b<c B.a<c<b

C.c<a<b D.c<b<a

答案为：B

解析：因为a=ln 8，b=ln 5，c=ln －ln ，所以a=ln ，b=ln ，c=ln =ln .又对数函数y=ln x在(0，＋∞)内单调递增，因为ln <ln <ln ，所以a<c<b.故选B.

6.(2018福建漳州期末调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)为减函数，则不等式f(log(2x－5))>f(log38)的解集为(　　)

A.

B.

C.

D.

答案为：C

解析：由函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)为减函数，可知当x>0时，f(x)为增函数，所以不等式变为log(2x－5)>log38或log(2x－5)<－log38，即0<2x－5<或2x－5>8，解得<x<或x>.故选C.

7.(2018重庆第一中学月考)已知f(x)=的值域为R，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－1] B.(－1,0)

C.[－1,0) D.[－1,0]

答案为：C

解析：∵y=ln x，x≥1，∴y≥0，∴y=－2ax＋3a＋1在x∈(－∞，1)时，满足解得－1≤a<0.故选C.

8.(2018河北邢台模拟)已知函数f(x)=a＋log2 (x2－2x＋a)的最小值为8，则(　　)

A.a∈(4,5) B.a∈(5,6)

C.a∈(6,7) D.a∈(7,8)

答案为：B

解析：因为y=x2－2x＋a在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)min=f(1)=a＋log2(a－1).设g(x)=x＋log2(x－1)，易知此函数为增函数，且g(5)=7<8，g(6)=6＋log25>8.所以a∈(5,6).故选B.

二、填空题

9.(2018山西太原模拟)已知f(log2 x)=x＋270，那么f(0)＋f(1)＋…＋f(6)=________.

答案为：2 017

解析：∵f(log2x)=x＋270=2log2x＋270，

∴f(x)=2x＋270，由此得f(0)＋f(1)＋…＋f(6)=20＋21＋…＋26＋270×7=2 017.

10.(2018广东佛山一模)函数f(x)=log2　 ·log2x的最小值为________.

答案为：－

解析：依题意得f(x)=log2x·(2＋2log2x)=(log2x)2＋log2x=2－≥－，当且仅当log2x=－，即x=时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.

11.(2018河南中原名校质检)若函数f(x)=loga(a>0，a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________.

答案为：(0，＋∞)

解析：令M=x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，因为 f(x)>0，所以a>1，所以函数y=logaM为增函数.又M=2－，因此M的单调递增区间为.又x2＋x>0，所以x>0或x<－.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).

12.(2018江西抚州七校联考)设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及函数y2=log2x＋2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2=log2x＋2的图象上，如图.若△ABC为正三角形，则m·2n=________.

答案为：12

解析：由题意知，n=log2m＋2，所以m=2n－2.又BC=y2－y1=2，且△ABC为正三角形，所以可知B(m＋，n－1)在y1=log2x的图象上，所以n－1=log2(m＋)，即m=2n－1－，所以2n=4　，所以m=，所以m·2n=×4　=12.

三、解答题

13.(2018湖南衡阳八中月考)已知函数f(x)=loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；

(3)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集.

【解】(1)要使函数f(x)有意义，则需解得－1<x<1.

故所求函数f(x)的定义域为(－1,1).

(2)f(x)为奇函数.

证明：由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)=loga(－x＋1)－loga(1＋x)=－[loga(x＋1)－loga(1－x)]=－f(x)，故f(x)为奇函数.

(3)因为当a>1时， f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，

所以f(x)>0⇔>1，解得0<x<1.

所以使f(x)>0的x的解集是(0,1).