2020届高考数学一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 11(含解析)

【课时训练】第11节　函数与方程

一、选择题

1.(2018赣中南五校联考)函数f(x)=3x－x2的零点所在区间是(　　)

A.(0,1) B.(1,2)

C.(－2，－1)　 D.(－1,0)

答案为：D

解析：由于f(－1)=－<0, f(0)=30－0=1>0，

∴f(－1)·f(0)<0.则f(x)在(－1,0)内有零点.

2.(2018浙江宁波三模)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　)

A.，0　　　 B.－2,0

C.　　　 D.0

答案为：D

解析：当x≤1时，由f(x)=2x－1=0，解得x=0；当x>1时，由f(x)=1＋log2x=0，解得x=，因为x>1，所以此时方程无解.综上函数f(x)的零点只有0.

3.(2018四川雅安一模)函数f(x)=2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)

A.(1,3)　 B.(1,2)　

C.(0,3)　 D.(0,2)

答案为：C

解析：由函数f(x)=2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)·(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，所以0<a<3.

4.(2018黑龙江哈师大附中月考)若函数y=f(x)(x∈R)是奇函数，其零点分别为x1，x2，…，x2 017，且x1＋x2＋…＋x2 017=m，则关于x的方程2x＋x－2=m的根所在区间是(　　)

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)

答案为：A

解析：因为函数y=f(x)(x∈R)是奇函数，故其零点x1，x2，…，x2 017关于原点对称，且其中一个为0，所以x1＋x2＋…＋x2 017=m=0.则关于x的方程为2x＋x－2=0，令h(x)=2x＋x－2，则h(x)为(－∞，＋∞)上的增函数.因为h(0)=20＋0－2=－1<0，h(1)=21＋1－2=1>0，所以关于x的方程2x＋x－2=m的根所在区间是(0,1).

5.(2018广东华南师大附中期中)设函数f(x)=x－ln x(x>0)，则y=f(x)(　　)

A.在区间，(1，e)内均有零点

B.在区间，(1，e)内均无零点

C.在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点

D.在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点

答案为：D

解析：由f(x)=x－ln x(x>0)得f′(x)=，令f′(x)>0得x>3，令f′(x)<0得0<x<3，令f′(x)=0得x=3，所以函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x=3处有极小值1－ln 3<0，又f(1)=>0，f(e)=－1<0，f=＋1>0，所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点.故选D.

6.(2018湖北孝感八校期末联考)已知函数f(x)=3e|x－1|－a(2x－1＋21－x)－a2有唯一零点，则负实数a=(　　)

A.－ B.－

C.－3 D.－2

答案为：C

解析：根据函数解析式可知，直线x=1是y=3e|x－1|和y=2x－1＋21－x图象的对称轴，故直线x=1是函数f(x)图象的对称轴.若函数f(x)有唯一零点，则零点必为1，即f(1)=3－2a－a2=0，又a<0，所以a=－3.故选C.

7.(2018湖北七校联考)已知函数f(x)是奇函数且是R上的单调函数.若函数y=f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)

A.　 B. 

C.－　 D.－

答案为：C

解析：令y=f(2x2＋1)＋f(λ－x)=0，则f(2x2＋1)=－f(λ－x)=f(x－λ).因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1=x－λ只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ=0只有一个实根，则Δ=1－8(1＋λ)=0，解得λ=－.

8.(2018四川资阳模拟)已知函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)=x3－x，则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　)

A.6 B.7 

C.8　 D.9

答案为：B

解析：当0≤x<2时，令f(x)=x3－x=0，得x=0或x=1.根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知y=f(x)在[0,6)上有6个零点，又f(6)=f(3×2＋0)=f(0)=0，∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.

9.(2018重庆一模)函数f(x)=－cos x在[0，＋∞)内(　　)

A.没有零点 B.有且仅有一个零点　

C.有且仅有两个零点　 D.有无穷多个零点

答案为：B

解析：令f(x)=0，得=cos x，在同一坐标系内画出两个函数y=与y=cos x的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程=cos x只有一个解.故函数 f(x)有且仅有一个零点.

二、填空题

10.(2018平顶山一模)已知函数f(x)=若a>0，则实数y=f(f(x))－1有________个零点.

答案为：3

解析：函数y=f(f(x))－1，令f(f(x))－1=0，当f(x)>0时，可得log2f(x)=1，解得f(x)=2，则log2x=2，解得x=4，ax＋1=2，解得x=(舍去).当f(x)<0时，可得af(x)＋1=1，解得f(x)=0，则log2x=0，解得x=1，ax＋1=0，解得x=－.所以函数的零点有3个.

11.(2018江苏盐城伍佑中学期末)已知函数f(x)=－log2x的零点为x0，若x0∈(k，k＋1)，其中k为整数，则k=________.

答案为：2

解析：由题意得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(1)=3>0，f(2)=－log22=>0，f(3)=1－log23<0，∴f(2)f(3)<0，∴函数f(x)=－log2x的零点x0∈(2,3)，∴k=2.

12.(2018贵州黔东南州第一次模拟)已知函数f(x)=log2x＋2x－m有唯一零点，若它的零点在区间(1,2)内，则实数m的取值范围是________.

答案为：(2,5)

解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数的零点在区间(1,2)内，所以f(1)·f(2)<0，即(log21＋21－m)·(log22＋22－m)<0⇒(2－m)(5－m)<0，解得2<m<5，所以实数m的取值范围是(2,5).

三、解答题

13.(2018安徽合肥一模)设函数f(x)=(x>0).

(1)做出函数f(x)的图象；

(2)当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求＋的值；

(3)若方程f(x)=m有两个不相等的正根，求m的取值范围.

【解】(1)函数f(x)的图象如图所示.

(2)∵f(x)==

故f(x)在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.

由0<a<b且f(a)=f(b)，得0<a<1<b，且－1=1－，所以＋=2.

(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，函数f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点，即方程f(x)=m有两个不相等的正根.