2020届高考数学一轮复习课时训练：第3章 导数及其应用 15(含解析)
展开【课时训练】第15节 定积分与微积分基本定理
一、选择题
1.(2018上海长宁区一模)若dx=3＋ln 2(a>1)，则a的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.6
答案为：A
解析：∵dx=(x2＋ln x)=a2＋ln a－1，
∴a2＋ln a－1=3＋ln 2，则a=2.
2.(2018江苏扬州七校联考)从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v=gt(g为常数)，则电视塔高为( )
A.g B.g C.g D.2g
答案为：C
解析：电视塔高h=gtdt==g.
3.(2018江西临川一中一模)设f(x)=则－1f(x)dx的值为( )
A.＋ B.＋3
C.＋ D.＋3
答案为：A
解析：－1f(x)dx=dx＋(x2－1)dx=
π×12＋=＋.故选A.
4.(2018辽宁阜新实验中学一模)曲线y=x3－3x和y=x围成的图形面积为( )
A.4 B.8 C.10 D.9
答案为：B
解析：由解得x1=0，x2=2，x3=－2，所以围成图形的面积为2(x－x3＋3x)dx=2(4x－x3)dx=2=8.故选B.
5.(2018河南洛阳一模)若S1=(ex－1)dx，S2=xdx，S3=sin xdx，则( )
A.S2>S3>S1 B.S1>S3>S2
C.S2>S1>S3 D.S1>S2>S3
答案为：D
解析：S1=(ex－1)dx=(ex－x)=e－2>，S2=xdx=x2|=，S3=sin xdx=－cos x|=1－cos 1<，∴S1>S2>S3.故选D.
6.(2018四川南充二诊)若函数f(x)=x2＋2f(x)dx，则f(x)dx=( )
A.－1 B.－ C. D.1
答案为：B
解析：由题意知f(x)=x2＋2f(x)dx，设m=f(x)dx，∴f(x)=x2＋2m，f(x)dx=(x2＋2m)dx=|=＋2m=m，∴m=－.
二、填空题
7.(2018云南曲靖一中月考)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围成的面积为________.
答案为：
解析：根据f(x)的图象可设f(x)=a(x＋1)(x－1)(a<0).
因为f(x)的图象过点(0,1)，所以－a=1，即a=－1.
所以f(x)=－(x＋1)(x－1)=1－x2.所以S= (1－x2)dx=2(1－x2)dx=2|=2=.
8.(2018山西太原二模) (＋sin x)dx=________.
答案为：
解析： (＋sin x)dx=dx＋sin xdx=＋(－cos x)=.
9.(2018浙江宁波效实中学质检)设f(x)=若f(f(1))=1，则a=________.
答案为：1
解析：因为3t2dt=t3=a3，所以f(1)=lg 1=0，所以f(f(1))=f(0)=a3=1，所以a=1.
10.(2018吉林省实验中学期中)若f(x)=则f(2 018)=________.
答案为：
解析：当x≤0时，f(x)=2x＋cos 3xdx=2x＋=2x＋，所以f(2 018)=f(2)=f(－2)=＋=.
三、解答题
11.(2018安徽师大附中期中)计算下列定积分：(1)dx；
(2)dx；
(3) sindx.
【解】(1)原式==－=－ln 2；
(2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x=0，x=2，y=，以及x轴围成的图象的面积，即圆(x－1)2＋y2=1的面积的一半，所以=；
(3)原式= (sin x＋cos x)dx=(－cos x＋sin x) =－(－cos 0＋sin 0)=2.
12.(2018安徽“江淮十校”联考)在区间[0,1]上给定曲线y=x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值.
【解】S1面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴，直线x=t所围成的面积，即S1=t·t2－ x2dx=t3.
S2的面积等于曲线y=x2与x轴，x=t，x=1围成的面积去掉边长分别为t2,1－t的矩形面积，即S2=x2dx－t2(1－t)=t3－t2＋.
所以阴影部分的面积S(t)=S1＋S2=t3－t2＋(0≤t≤1).
令S′(t)=4t2－2t=4t=0，得t=0或t=.
t=0时，S(t)=；t=时，S(t)=；t=1时，S(t)=.
所以当t=时，S(t)最小，且最小值为.
