2020届高考数学一轮复习课时训练：第4章 三角函数、解三角形 20(含解析)

【课时训练】第20节　简单的三角恒等变换

一、选择题

1.(2018湖南岳阳联考)已知sin=cos，则cos 2α=(　　)

A.1　 B.－1

C.  D.0

答案为：D

解析：∵sin=cos，∴cos α－sin α=cos α－sin α，即sin α=－cos α，

∴tan α==－1，∴cos 2α=cos2α－sin2α===0.

2.(2018河北沧州教学质量监测)若cos α＋2cos β=，sin α=2sin β－，则sin2(α＋β)=(　　)

A.1 B.

C. D.0

答案为：A

解析：由题意得(cos α＋2cos β)2=cos2α＋4cos2β＋4cos αcos β=2，(sin α－2sin β)2=sin2α＋4sin2β－4sin αsin β=3.两式相加，得1＋4＋4(cos αcos β－sin αsin β)=5，　

∴cos(α＋β)=0，∴sin2(α＋β)=1－cos2(α＋β)=1.

3.(2018吉林梅河口五中月考)若tan(α＋80°)=4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为(　　)

A.－ B.3

C. D.

答案为：D

解析：由tan(α＋80°)=4sin 420°=4sin 60°=2，

得tan(α＋20°)=tan[(α＋80°)－60°]

===.故选D.

4.(2018湖南永州二模)已知tan=，则cos2=(　　)

A. B.

C. D.

答案为：B

解析：∵tan=，

∴cos2=sin2

=

===.故选B.

5.(2018开封模拟)设a=cos 6°－sin 6°，b=，c=，则(　　)

A.c＜b＜a　　 B.a＜b＜c

C.a＜c＜b  D.b＜c＜a

答案为：C

解析：∵a=sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°=sin 24°，b=tan 26°，c=sin 25°，∴a＜c＜b.

6.(2019广东佛山质检)若sin(α－β)sin β－cos(α－β)·cos β=，且α为第二象限角，则tan=(　　)

A.7　　 B.　　

C.－7  D.－

答案为：B

解析：sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β=，即sin αcos βsin β－cos αsin2β－cos αcos2β－sin αsin βcos β=，即cos α=－.又α为第二象限角，∴tan α=－，

∴tan==.故选B.

7.(2018内蒙古巴彦淖尔一中期中)若tan 20°＋msin 20°=，则m的值为(　　)

A.1 B.3

C.6 D.4

答案为：D

解析：∵tan 20°＋msin 20°=＋msin 20°=，

∴msin 20°cos 20°=cos 20°－sin 20°=2sin(60°－20°)=2sin 40°，∴sin 40°=2sin 40°，∴m=4.故选D.

8.(2018江西重点高中月考)若sin(α＋β)=2sin(α－β)=，则sin αcos β的值为(　　)

A. B.－

C. D.－

答案为：A

解析：由sin(α＋β)=2sin(α－β)=，可得

sin αcos β＋cos αsin β=　①，

sin αcos β－cos αsin β=　②.

由①②解得sin αcos β=.故选A.

二、填空题

9.(2018山西康杰中学月考)若=3，tan(α－β)=2，则tan(β－2α)=________.

答案为：

解析：∵==3，

∴tan α=2.

∵tan(α－β)=2，

∴tan(β－2α)=tan[(β－α)－α]

=－tan[(α－β)＋α]

=－=.

10.(2018浙江绍兴诸暨中学期中)=________.

答案为：－4

解析：原式=

=

==－4.

三、解答题

11.(2018东营模拟)已知函数f(x)=sin2x－2sin·sin.

(1)若tan α=2，求f(α)的值；

(2)若x∈，求f(x)的取值范围.

【解】(1)f(x)=(sin2x＋sin xcos x)＋2sin·cos=＋sin 2x＋sin

=＋(sin 2x－cos 2x)＋cos 2x

=(sin 2x＋cos 2x)＋.

由tan α=2，得sin 2α===.

cos 2α===－.

所以 f(α)=(sin 2α＋cos 2α)＋=.

(2)由(1)得f(x)=(sin 2x＋cos 2x)＋=sin＋.

由x∈，得≤2x＋≤.

∴－≤sin≤1,0≤f(x)≤，

∴f(x)的取值范围是.

12.(2018甘肃兰州一诊)已知函数f(x)=2sin xsin.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)当x∈时，求函数f(x)的值域.

【解】(1)f(x)=2sin x=×＋sin 2x=sin＋.

所以函数f(x)的最小正周期为T=π.

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.

(2)当x∈时，2x－∈，所以sin∈，所以f(x)∈.

故f(x)的值域为.