2020届高考数学一轮复习课时训练：第4章 三角函数、解三角形 21(含解析)
展开【课时训练】第21节 正弦定理、余弦定理
一、选择题
1.(2018山西晋中一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2＋bc，A=，则角C=( )
A. B.
C.或 D.或
答案为：B
解析：在△ABC中，由余弦定理得cos A=，即=，所以b2＋c2－a2=bc.又b2=a2＋bc，所以c2＋bc=bc，即c=(－1)b＜b，则a=b，所以cos C==，解得C=.故选B.
2.(2018湖南娄底二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2＋c2－a2=bc，且b=a，则下列关系一定不成立的是( )
A.a=c B.b=c
C.2a=c D.a2＋b2=c2
答案为：B
解析：由余弦定理，得cos A===，则A=30°.又b=a，由正弦定理得sin B=sin A=sin 30°=，所以B=60°或120°.
当B=60°时，△ABC为直角三角形，且2a=c，可知C，D成立；当B=120°时，C=30°，所以A=C，即a=c，可知A成立.故选B.
3.(2018太原模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A=60°，b=1，S△ABC=，则c=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案为：D
解析：∵S△ABC=bcsin A，∴=×1×c×，∴c=4.
4.(2018武汉调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若＜cos A，则△ABC为( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
答案为：A
解析：根据正弦定理得=＜cos A，
即sin C＜sin Bcos A，∵A＋B＋C=π，
∴sin C=sin(A＋B)＜sin Bcos A，整理得sin Acos B＜0.又在三角形中sin A＞0，
∴cos B＜0，∴＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形.
5.(2018广西来宾一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=，b=3，c=2，则A=( )
A. B.
C. D.
答案为：C
解析：∵cos A===，且A∈，∴A=.故选C.
6.(2018江苏泰州调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a2＋b2－c2)tan C=ab，则角C的大小为( )
A.或 B.或
C. D.
答案为：A
解析：由题意知，=⇒cos C=，∴sin C=.又C∈(0，π)，∴C=或.故选A.
7.(2018南京模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2=bc，sin C=2 sin B，则A=( )
A.150° B.120°
C.60° D.30°
答案为：D
解析：由a2－b2=bc，得sin2A－sin2B=sin B·sin C，
∵sin C=2 sin B，∴sin A=sin B，∴c=2 b，a=b，
由余弦定理得cosA==，∴A=30°.故选D.
8.(2018安徽池州一模)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b=c，a2=2b2(1－sin A)，则A=( )
A. B.
C. D.
答案为：C
解析：∵b=c，∴B=C.
又由A＋B＋C=π得B=－.由正弦定理及a2=2b2(1－sin A)得sin2A=2sin2B·(1－sin A)，即sin2A=2sin2(1－sin A)，即sin2A=2cos2(1－sin A)，即4sin2cos2=2cos2(1－sin A)，
整理得cos2=0，即cos2(cos A－sin A)=0.
∵0＜A＜π，∴0＜＜，∴cos≠0，
∴cos A=sin A.又0＜A＜π，∴A=.
二、填空题
9.(2018江西九校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a=1，b=，则S△ABC=________.
答案为：
解析：因为角A，B，C依次成等差数列，所以B=60°.由正弦定理，得=，解得sin A=.因为0°＜A＜180°，所以A=30°或150°(舍去)，此时C=90°，所以S△ABC=ab=.
10.(2018山西名校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b2＋c2=2a2，则cos A的最小值为________.
答案为：
解析：因为b2＋c2=2a2，则由余弦定理可得a2=2bccos A，所以cos A==×≥×=(当且仅当b=c时等号成立)，即cos A的最小值为.
三、解答题
11.(2018河北衡水模拟)如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acos A=bcos C＋ccos B.
(1)求角A的大小；
(2)若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，求AD的长.
【解】(1)由题意及正弦定理得2sin Acos A=sin Bcos C＋sin Ccos B=sin(B＋C)=sin A.
∵sin A≠0，∴cos A=.∵A∈(0，π)，∴A=.
(2)在△ABC中，由余弦定理得，
BC2=AB2＋AC2－2AB·ACcos A，即16=4＋AC2－2AC，
解得AC=1＋，或AC=1－(负值，舍去).
∵BD是∠ABC的平分线，AB=2，BC=4，
∴==，∴AD=AC=.
12.(2019武汉武昌区调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos2B＋cos B=1－cos Acos C.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若b=2，求△ABC的面积的最大值.
【解】(1)在△ABC中，cos B=－cos(A＋C).
由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)=1－cos Acos C，
∴－sin2B－(cos Acos C－sin Asin C)=－cos Acos C，化简，得sin2B=sin Asin C.
由正弦定理，得b2=ac，∴a，b，c成等比数列.
(2)由(1)及题设条件，得ac=4.
则cos B==≥=，
当且仅当a=c时，等号成立.
∵0＜B＜π，∴sin B=≤=.
∴S△ABC=acsin B≤×4×=.
∴△ABC的面积的最大值为.
