2020届高考数学一轮复习课时训练：第5章 平面向量 25(含解析)

【课时训练】第25节　平面向量的数量积

一、选择题

1.(2018山西大同一中月考)已知|a|=6，|b|=3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为(　　)

A.12　　 B.8　　

C.－8　 D.2

答案为：A

解析：∵|a|cos〈a，b〉=4，|b|=3，∴a·b=|a||b|·cos〈a，b〉=3×4=12.

2.(2018海南中学月考)已知平面向量a=(－2，m)，b=(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为(　　)

A.－2　　　 B.2　　　　

C.4　 　  D.6　

答案为：B

解析：∵a=(－2，m)，b=(1，)，∴a－b=(－2，m)－(1，)=(－3，m－).由(a－b)⊥b，得(a－b)·b=0，即(－3，m－)·(1，)=－3＋m－3=m－6=0，解得m=2　.故选B.

3.(2019陕西咸阳质检)设向量a，b满足|a|=1，|a－b|=，a·(a－b)=0，则|2a＋b|=(　　)

A.2　　　　　 B.2　　　　 　

C.4　　　　  D.4　

答案为：B

解析：由a·(a－b)=0，可得a·b=a2=1，由|a－b|=，可得(a－b)2=3，即a2－2a·b＋b2=3，解得b2=4.所以(2a＋b)2=4a2＋4a·b＋b2=12，所以|2a＋b|=2　.

4.(2018洛阳质检)已知|a|=1，|b|=6，a·(b－a)=2，则向量a与b的夹角为(　　)

A.　 B.

C. D.

答案为：B

解析：a·(b－a)=a·b－a2=2，所以a·b=3，所以cos〈a，b〉===，所以向量a与b的夹角为.

5.(2018河北邢台一中模拟)已知向量a=(，1)，b=(0,1)，c=(k，).若a＋2b与c垂直，则k=(　　)

A.－3　　　　 B.－2　　　

C.1 D.－1

答案为：A

解析：因为a＋2b与c垂直，所以(a＋2b)·c=0，即a·c＋2b·c=0，所以k＋＋2　=0，解得k=－3.

6.(2018四川资阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=(1，－2)，=(2,1)，则·=(　　)

A.5　 B.4　　　　

C.3 D.2

答案为：A

解析：由四边形ABCD是平行四边形，知=＋=(1，－2)＋(2,1)=(3，－1)，故·=(2,1)·(3，－1)=2×3＋1×(－1)=5.

7.(2018广东惠州三校联考)若平面向量a=(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|=3　，则b的坐标为(　　)

A.(3，－6)　　 B.(－3,6)　　

C.(6，－3) D.(－6,3)

答案为：A

解析：由题意设b=λa=(－λ，2λ)(λ＜0)，而|b|=3，则=3　，所以λ=－3，b=(3，－6).故选A.

8.(2018浙江余姚中学月考)已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足=λ，=(1－λ)，λ∈R.若·=－，则λ=(　　)

A.　 B.

C.　　　 D.

答案为：A

解析：∵=－=(1－λ)－，=－=λ－，又·=－，||=||=2，A=60°，·=||·||cos 60°=2，∴[(1－λ)－]·(λ－)=－，即λ||2＋(λ2－λ－1)·＋(1－λ)||2=，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)=，解得λ=.

二、填空题

9.(2018河北保定联考)如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，A=60°，点M在AB边上，且AM=AB，则·=________.

答案为：1

解析：因为=＋=＋，=＋，所以·=·(＋)=||2＋||2＋·=1＋－·=－||·||·cos 60°=－×1×2×=1.

10.(2018广东深圳一模)已知平面向量a=(2,4)，b=(1，－2).若c=a－(a·b)·b，则|c|=________.

答案为：8　

解析：由题意可得a·b=2×1＋4×(－2)=－6，∴c=a－(a·b)·b=a＋6b=(2,4)＋6(1，－2)=(8，－8)，

∴|c|==8　.

11.(2018河南新乡模拟)已知向量a，b满足(2a－b)·(a＋b)=6，且|a|=2，|b|=1，则a与b的夹角为________.

答案为：

解析：∵(2a－b)·(a＋b)=6，∴2a2＋a·b－b2=6，又|a|=2，|b|=1，∴a·b=－1，∴cos〈a，b〉==－.又〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.

12.(2018四川南充模拟)已知a=(λ，2λ)，b=(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________.

答案为：∪∪

解析：a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不共线，则解得λ<－或0<λ<或λ>，所以λ的取值范围是∪∪.

三、解答题

13.(2018江西高安中学调研)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m=，n=(sin x，cos x)，x∈.

(1)若m⊥n，求tan x的值；

(2)若m与n的夹角为，求x的值.

【解】(1)若m⊥n，则m·n=0.

∴sin x－cos x=0，∴tan x=1.

(2)∵m与n的夹角为，

∴m·n=|m||n|cos=1×1×=，即sin x－cos x=，

∴sin=.

又x∈，∴x－∈，

∴x－=，即x=.