2020届高考数学一轮复习课时训练：第6章 数 列 27(含解析)

【课时训练】第27节　数列的概念与简单表示法

一、选择题

1.(2018四川凉山诊断)数列{an}满足an＋an＋1=(n∈N*)，a2=2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为(　　)

A.5　　 B.

C. D.

答案为：B

解析：∵an＋an＋1=，a2=2，

∴an=∴S21=11×＋10×2=.

2.(2018南昌模拟)在数列{an}中，a1=1，anan－1=an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　)

A.　　 B.　

C.　 D.　

答案为：C

解析：由已知得a2=1＋(－1)2=2，∴2a3=2＋(－1)3，a3=，∴a4=＋(－1)4，a4=3，∴3a5=3＋(－1)5，∴a5=，∴=×=.

3.(2018江西抚州七校联考)设an=＋＋＋…＋(n∈N*)，那么an＋1－an=(　　)

A.　　　 B.

C.＋ D.－

答案为：D

解析： ∵an=＋＋＋…＋＋，n∈N*，∴an＋1=＋＋…＋＋＋，n∈N*，故an＋1－an=＋－=－.

4.(2018河北石家庄二中调研)已知数列{an}的通项公式为an=，则其最大项和最小项分别为(　　)

A.1，－　　  B.0，－

C.，－ D.1，－

答案为：A

解析：由题意知a1=－，a2=－，a3=－，a4=1，则当n≥4时，an＞0.又当n≥5时，an－an－1=－=＜0，所以an＜an－1，于是数列{an}的最大项为1，最小项为－.

5.(2018浙江湖州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为(　　)

A.{1,2,3}  B.{2,3,4}

C.{1,2,3,4}  D.{1,2,3,4,5}

答案为：C

解析：因为Sn=2an－1，所以当n≥2时，Sn－1=2an－1－1，两式相减得an=2an－2an－1，整理得an=2an－1.又a1=2a1－1，所以a1=1，故an=2n－1.又≤2，即2n－1≤2n，所以有n∈{1,2,3,4}.

6.(2019河南信阳调研)已知数列{an}满足a1=2，an＋1=(n∈N*)，则a2 018的值为(　　)

A.－8　　 B.－3　　

C.－4 D.

答案为：B

解析：由a1=2，an＋1=(n∈N*)得，a2=－3，a3=－，a4=，a5=2，可见数列{an}的周期为4，所以a2 018=a504×4＋2=a2=－3.

7.(2018广西南宁模拟)已知数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=－n2＋4n＋5，bn=n2＋(2－a)n－2a.若对任意正整数n，an＜0或bn＜0，则a的取值范围为(　　)

A.(5，＋∞)　 B.(－∞，5)

C.(6，＋∞)  D.(－∞，6)

答案为：A

解析：由an=－n2＋4n＋5=－(n＋1)(n－5)可知，当n＞5时，an＜0.由bn=n2＋(2－a)n－2a=(n＋2)(n－a)＜0及已知易知－2＜n＜a，为使当0＜n≤5时，bn＜0，只需a＞5.故选A.

8.(2018保定调研)在数列{an}中，已知a1=1，an＋1=2an＋1，则其通项公式an=(　　)

A.2n－1 B.2n－1＋1

C.2n－1  D.2(n－1)

答案为：A

解析：由an＋1=2an＋1，可求a2=3，a3=7，a4=15，…，验证可知an=2n－1.

9.(2018宁夏银川模拟)若数列{an}满足(n－1)an=(n＋1)an－1(n≥2)且a1=2，则满足不等式an＜462的最大正整数n为(　　)

A.19　　 B.20　　

C.21  D.22

答案为：B

解析：由(n－1)an=(n＋1)an－1得，=，则an=a1×××…×=2×××…×=n(n＋1).又an＜462，即n(n＋1)＜462，所以n2＋n－462＜0，即(n－21)(n＋22)＜0，因为n＞0，所以n＜21.故所求的最大正整数n=20.

二、填空题

10.(2018湖北八校联考)已知数列{an}的通项公式an=则a3a4=________.

答案为： 54

解析：由题意知，a3=2×3－5=1，a4=2×34－1=54，∴a3a4=54.

11.(2018潍坊模拟)已知数列{an}的前n项和Sn=an＋，则{an}的通项公式an=________.

答案为：n－1

解析：当n=1时，a1=S1=a1＋，

∴a1=1; 当n≥2时，an=Sn－Sn－1=an－an－1，∴=－.

∴数列{an}是首项a1=1，公比q=－的等比数列，故an=n－1.

三、解答题

12.(2018安徽淮南第四次考试)已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，且满足a2=4b1，Sn=2an－2，nbn＋1－(n＋1)bn=n3＋n2(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{bn}的通项公式.

【解】(1)当n=1时，S1=2a1－2，则a1=2.

当n≥2时，由得an=2an－2an－1，则an=2an－1，n≥2.

综上，数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an=2n，n∈N*.

(2)∵a2=4b1=4，∴b1=1.

∵nbn＋1－(n＋1)bn=n3＋n2，∴－=n，

故－=n－1，…，－=2，－=1，n≥2，

将上面各式累加得－=1＋2＋3＋…＋(n－1)=，

∴bn=，n∈N*.

13.(2018福建清流一中模拟)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=a(a∈R且a≠3)，an＋1=Sn＋3n，n∈N*.

(1)设bn=Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；

(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围.

【解】(1)由题意知，Sn＋1－Sn=an＋1=Sn＋3n，

即Sn＋1=2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1=2Sn＋3n－3n＋1=2(Sn－3n)，

又S1－31=a－3(a≠3)，

故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为bn=Sn－3n=(a－3)2n－1，n∈N*.

(2)由(1)知Sn=3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，

于是，当n≥2时，an=Sn－Sn－1=3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2=2×3n－1＋(a－3)2n－2，

所以an＋1－an=4×3n－1＋(a－3)2n－2=2n－2，

当n≥2时，an＋1≥an⇔12·n－2＋a－3≥0⇔a≥－9.

又a2=a1＋3＞a1.

综上，所求的a的取值范围是[－9,3)∪(3，＋∞).