2020届高考数学一轮复习课时训练：第7章 不 等 式 33(含解析)

【课时训练】第33节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

一、选择题

1.(2018江西七校质检)若x，y满足约束条件则3x＋5y的取值范围是(　　)

A.[－5,3]　　  B.[3,5]

C.[－3,3]  D.[－3,5]

答案为：D

解析：做出如图所示的可行域及l0：3x＋5y=0，平行移动l0到l1过点A(0,1)时，3x＋5y有最大值5，平行移动l0至l2过点B(－1,0)时，3x＋5y有最小值－3.故选D.

2.(2018济南模拟)已知变量x，y满足约束条件目标函数z=x＋2y的最大值为10，则实数a的值为(　　)

A.2　　 B.　

C.4  D.8

答案为：C

解析：依据线性约束条件做出可行域如图中阴影部分所示，当目标函数经过点A(a，a－1)时取得最大值10，所以a＋2(a－1)=10，解得a=4.故选C.

3.(2018四川绵阳二诊)不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)

A. B.

C.　 D.

答案为：C

解析：做出平面区域如图中阴影部分所示.

联立解得A(1,1).易得B(0,4)，C，|BC|=4－=.

∴S△ABC=××1=.

4.(2018安徽蚌埠二模)实数x，y满足(a＜1)且z=2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是(　　)

A.　　 B.

C. D.

答案为：B

解析：做出不等式组表示的可行域的大致图形如图中阴影部分所示，平移直线2x＋y=0，可知在点A(a，a)处z取最小值，即zmin=3a，在点B(1,1)处z取最大值，即zmax=3，所以12a=3，即a=.

5.(2018江苏南京模拟)已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2＋y2=14相交于A，B两点，则|AB|的最小值是(　　)

A.2　　　　 B.4　　

C.  D.2

答案为：B

解析：根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示.设点P到圆心的距离为d，则求最短弦长等价于求到圆心距离d最大的点，即为图中的P点，其坐标为(1,3)，则d==，此时|AB|min=2=4.故选B.

6.(2019沈阳质量监测)实数x，y满足则z=|x－y|的最大值是(　　)

A.2　　 B.4　　

C.6  D.8

答案为：B

解析：依题意画出可行域如图中阴影部分所示.令m=y－x，则m为直线l：y=x＋m在y轴上的截距，由图知在点A(2,6)处m取最大值4，在C(2,0)处取最小值－2，所以m∈[－2,4]，所以z的最大值是4.故选B.

7.(2018烟台模拟)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(　　)

A.2 B.1

C.－ D.－

答案为：C

解析：如图所示，所表示的平面区域为图中的阴影部分.

由得A(3，－1).

当点M与A重合时，OM的斜率最小，kOM=－.故选C.

8.(2018河南八市质检)已知x，y满足约束条件目标函数z=6x＋2y的最小值是10，则z的最大值是(　　)

A.20　　 B.22　　

C.24  D.26

答案为：A

解析：由z=6x＋2y，得y=－3x＋，做出不等式组所表示的可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y=－3x＋经过点C时，直线的纵截距最小，即z=6x＋2y取得最小值10，由解得将其代入直线－2x＋y＋c=0，得c=5，即直线方程为－2x＋y＋5=0，平移直线3x＋y=0，当直线经过点D时，直线的纵截距最大，此时z取最大值，由得即D(3,1)，将点D的坐标代入直线z=6x＋2y，得zmax=6×3＋2=20.故选A.

9.(2018吉安质检)若实数x，y满足则z=的最小值为(　　)

A.－2　　  B.－3　　

C.－4  D.－5

答案为：B

解析：做出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数z===1＋，设k=，则k的几何意义为区域内的点与定点D(2，－2)连线的斜率，数形结合可知，直线AD的斜率最小，由得即A(1,2)，此时直线AD的斜率kAD==－4，则zmin=1＋kAD=1－4=－3.故选B.

10.(2018贵阳监测)已知O是坐标原点，点A的坐标为(－1,2).若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)

A.[－1,0]　　 B.[0,1]　

C.[1,3]  D.[1,4]

答案为：D

解析：做出点M(x，y)满足的平面区域，如图中阴影部分所示，易知当点M在点C(0,2)时，·取得最大值，即为(－1)×0＋2×2=4，当点M在点B(1,1)时，·取得最小值，即为(－1)×1＋2×1=1，所以·的取值范围为[1,4].故选D.

二、填空题

11.(2018河北唐山摸底)已知实数x，y满足则w=x2＋y2－4x－4y＋8的最小值为________.

答案为：

解析：目标函数w=x2＋y2－4x－4y＋8=(x－2)2＋(y－2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方.由实数x，y所满足的不等式组做出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x＋y－1=0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又=，所以wmin=.

12.(2018石家庄模拟)若不等式组表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的取值范围是________.

答案为：(0,1)

解析：直线y=kx＋3恒过定点(0,3).做出可行域如下图阴影部分所示，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y=kx＋3的斜率在0与1之间，即k∈(0,1).

三、解答题

13.(2018安徽淮南一模)画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：

(1)指出x，y的取值范围；

(2)平面区域内有多少个整点.

【解】(1)不等式组表示的平面区域如图所示.

结合图中可行域得x∈，

y∈[－3,8].

(2)由图形及不等式组知

当x=3时，－3≤y≤8，有12个整点；

当x=2时，－2≤y≤7，有10个整点；

当x=1时，－1≤y≤6，有8个整点；

当x=0时，0≤y≤5，有6个整点；

当x=－1时，1≤y≤4，有4个整点；

当x=－2时，2≤y≤3，有2个整点；

∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12=42(个).