2020届高考数学一轮复习课时训练：第8章 立体几何 36(含解析)

【课时训练】第36节　空间几何体的表面积及体积

一、选择题

1.(2018郑州质量预测)如图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为(　　)

A.  B.

C.  D.2

答案为：A

解析：由三视图可知，此四面体如图所示，其高为2，底面三角形的一边长为1，对应的高为2，所以其体积V=××2×1×2=.故选A.

2.(2018四川泸州二模)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为(　　)

A.3　  B.

C.2　  D.2　

答案为：D

解析：设正六棱柱的高为h，则可得()2＋=32，解得h=2.

3.(2018石家庄一模)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A.π B.

C.　 D.

答案为：D

解析：由题图可知该几何体是一个底面圆的半径为1，高为1的半圆锥，故所求体积V=×π×12×1=.故选答案为：D.

4.(2018洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为(　　)

A.200π B.150π 

C.100π D.50π

答案为：D

解析：由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5,4,3，所以其外接球半径R满足2R==5，所以该几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×2=50π.故选D.

5.(2018山东枣庄模拟)已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(　　)

A.6　  B.12　

C.18　  D.24　

答案为：C

解析：根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于2，所以这个三棱柱的表面积等于3×2×2＋2××2　×3=18　.

6.(2019昆明调研)一个正三棱柱被平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)

A.　　　 B.

C.　　 D.

答案为：A

解析：由三视图可知，剩余部分所表示的几何体是从正三棱柱ABC－A1B1C1(其底面边长是2)中截去三棱锥E－A1B1C1(其中E是侧棱BB1的中点)，因此三棱锥E－A1B1C1的体积为VE－A1B1C1=××22×1=，剩余部分的体积为V=VABC－A1B1C1－VE－A1B1C1=×22×2－=，因此截去部分体积与剩余部分体积的比值为.故选A.

7.(2018天津南开区模拟)已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为(　　)

A.4π B.8π

C.12π D.16π

答案为：A

解析：依题意，设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，则由O是PC的中点得，点P到平面ABC的距离等于2d，所以VP－ABC=2VO－ABC=2×S△ABC×d=××12×d=，解得d=.又R2=d2＋2=1，所以球O的表面积等于4πR2=4π.故选A.

8.(2018福建三明一中1月月考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(　　)

A. B.

C.2 D.1

答案为：A

解析：由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为.∵ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1.∴BC为截面圆的直径.∴∠BAC=90°.∵AB=AC，∴AB=1.∴侧面ABB1A1的面积为×1=.故选A.

9.(2018开封模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为(　　)

A.  B.

C.4　π D.π

答案为：A

解析：由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，令其为三棱锥A－BCD，由俯视图可知，底面BCD是一个等腰直角三角形，∠BCD为直角.平面ABD⊥平面BCD，易知外接球的球心O为△ABD的中心，则球O的半径R=，外接球的表面积等于4πR2=4π×2=.

10.(2018河北衡水四调)三棱锥A－BCD的外接球为球O，球O的直径AD=2，且△ABC，△BCD都是等边三角形，则三棱锥A－BCD的体积是(　　)

A.  B.

C. D.

答案为：A

解析：取△ABC外接圆的圆心为F，连接AD的中点即球心O与F(图略).由球的性质可知OF与平面ABC垂直，AB=BD=，连接AF，在Rt△AOF中，AO=1，AF=，故OF==.又AD=2OA，故点D到平面ABC的距离h=2OF=，因此VA－BCD=VD－ABC=××()2×=.故选A.

二、填空题

11.(2018辽宁抚顺一模)如图，半球内有一内接正四棱锥S－ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为________.

11题图

答案为：π

解析：设所给半球的半径为R，则棱锥的高h=R，底面正方形中有AB=BC=CD=DA=R，∴其体积为R3=，则R3=2　，于是所求半球的体积为V=πR3=π.

12.(2018安徽淮南一模)如图所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AC⊥BC，AC=4，BC=CC1=2.若用平行于三棱柱A1B1C1－ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________.

12题图

答案为：24

解析：由题意知，拼接后的长方体有两种情形：一是长方体的高为2，底面是边长为2的正方形；二是长方体的高为2，底面是长为4，宽为1的矩形.所以其表面积分别为24,28，故长方体表面积的最小值为24.