2020届高考数学一轮复习课时训练：第8章 立体几何 39(含解析)

【课时训练】第39节　直线、平面垂直的判定与性质

一、选择题

1.(2018银川模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)

A.AH⊥平面EFH  B.AG⊥平面EFH

C.HF⊥平面AEF  D.HG⊥平面AEF

答案为：A

解析：由平面图形可得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF=H，∴AH⊥平面HEF.故选A.

2.(2019惠州调研)设α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为(　　)

A.α⊥β，α∩β=l，m⊥l  B.α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ

C.α⊥γ，β⊥γ，m⊥α  D.n⊥α，n⊥β，m⊥α

答案为：D

解析：若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m与β的位置不确定；若α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能平行，此时m∥β；若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则α，β不一定平行，则m不一定与β垂直；若n⊥α，n⊥β，则α∥β，则m⊥β.故选答案为：D.

3.(2018黄冈质检)已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，有下列四个命题：

①若m∥n，m⊥α，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m，n与α所成的角相等，则m∥n；④若m∥α，α∩β=n，则m∥n.

其中正确命题的个数是(　　)

A.1 B.2

C.3 D.4

答案为：B

解析：对于①，若m∥n，m⊥α，则n⊥α，故该命题为真命题；对于②，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故该命题为真命题；对于③，若m，n与α所成的角相等，则m与n可能平行、相交或异面，故该命题为假命题；对于④，若m∥α，α∩β=n，则m与n的位置关系不确定，故该命题为假命题.故选答案为：B.

4.(2018宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：

①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD；

②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD；

③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；

④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.

其中为真命题的是(　　)

A.①②  B.②③

C.②④  D.①④

答案为：D

解析：①如图，

取BC的中点M，连接AM，DM，由AB=AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO(图略)，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.故选D.

二、填空题

5.(2018广西南宁一模)如图，∠BAC=90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________________；与AP垂直的直线有______________.

答案为：AB，BC，AC　AB

解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC=C，∴AB⊥平面PAC.∴与AP垂直的直线是AB.

6.(2018青岛模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)

答案为：DM⊥PC(或BM⊥PC等)(不唯一)

解析：如图，连接AC，

∵四边形ABCD的各边都相等，

∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.

又AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC.∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.

7.(2018泰州模拟)若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为________.

①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；

②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；

③若m⊂α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；

④若m⊂α，则在β内一定存在与m垂直的直线.

答案为：②④

解析：对于①，若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；对于②，若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；对于③④，若m⊂α，则在平面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确.

三、解答题

8.(2018广东七校联考)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点.

求证：(1)AN∥平面A1MK；

(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.

【证明】(1)如图所示，连接NK.

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1=DD1，

C1D1∥CD，C1D1=CD.

∵N，K分别为CD，C1D1的中点，

∴DN∥D1K，DN=D1K.

∴四边形DD1KN为平行四边形.

∴KN∥DD1，KN=DD1.∴AA1∥KN，AA1=KN.

∴四边形AA1KN为平行四边形.∴AN∥A1K.

∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.

(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB=C1D1.

∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM=C1K.

∴四边形BC1KM为平行四边形.∴MK∥BC1.

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，

BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.

∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.

∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.

∴MK⊥B1C.

∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C=B1，

∴MK⊥平面A1B1C.

又∵MK⊂平面A1MK，

∴平面A1B1C⊥平面A1MK.

9.(2018贵州贵阳第一中学月考)如图，在三棱锥K－ABC中，D，E，F分别是KA，KB，KC的中点，平面KBC⊥平面ABC，AC⊥BC，△KBC是边长为2的正三角形，AC=3.

(1)求证：BF⊥平面KAC；

(2)求三棱锥F－BDE的体积.

(1)【证明】因为平面KBC⊥平面ABC，且AC⊥BC，

所以AC⊥平面KBC.又因为BF⊂平面KBC，所以BF⊥AC.

又因为△KBC是正三角形，且F为CK的中点，

所以BF⊥KC.又AC∩KC=C，所以BF⊥平面KAC.

(2)【解】S△EFB=××1=.

又因为AC⊥平面KBC，DF∥AC，所以DF⊥平面KBC.

又因为DF=AC=，

所以VF－BDE=VD－EFB=S△EFB·DF=××=.