2020届高考数学一轮复习课时训练：第8章 立体几何 40(含解析)

【课时训练】第40节　空间向量及其运算

一、选择题

1.(2018泸州模拟)在空间直角坐标系中，点P(m,0,0)到点P1(4,1,2)的距离为，则m的值为(　　)

A.－9或1 B.9或－1

C.5或－5 D.2或3

答案为：B

解析：由题意知|PP1|=，即=，

∴(m－4)2=25，解得m=9或m=－1.故选B.

2.(2018滨州模拟)已知a=(－2,1,3)，b=(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)

A.－2 B.－

C.  D.2

答案为：D

解析：由题意知a·(a－λb)=0，即a2－λa·b=0，∴14－7λ=0，∴λ=2.

3.(2018东营质检)已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　)

A.±　  B.

C.－  D.±

答案为：C

解析：∵＋λ=(1，－λ，λ)，∴cos 120°==－，得λ=±.经检验λ=不合题意，舍去，∴λ=－.

4.(2018贵州遵义模拟)已知a=(λ＋1,0,2)，b=(6，2μ－1,2λ).若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)

A.2，  B.－，

C.－3,2 D.2,2

答案为：A

解析：∵a∥b，∴b=ka，即(6,2μ－1,2λ)=k(λ＋1,0,2)，

∴解得或

5.(2018济南月考)O为空间任意一点，若=＋＋，则A，B，C，P四点(　　)

A.一定不共面 B.一定共面

C.不一定共面 D.无法判断

答案为：B

解析：因为=＋＋，且＋＋=1，所以P，A，B，C四点共面.

6.(2018山东聊城一模)已知向量a=(1,1,0)，b=(－1，0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)

A.－1 B.

C. D.

答案为：D

解析：由题意知ka＋b=(k－1，k,2)，2a－b=(3,2，－2)，所以(ka＋b)·(2a－b)=3(k－1)＋2k－2×2=5k－7=0，解得k=.

7.(2018哈尔滨九中月考)若向量c垂直于不共线的向量a和b，d=λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则(　　)

A.c∥d 

B.c⊥d

C.c不平行于d，c也不垂直于d

D.以上三种情况均有可能

答案为：B

解析：由题意得c垂直于由a，b确定的平面.∵d=λa＋μb，∴d与a，b共面，∴c⊥d.

8.(2018杭州模拟)在空间四边形ABCD中，·＋·＋·=(　　)

A.－1 B.0

C.1 D.不确定

答案为：B

解析：如图，令=a，=b，=c，则·＋·＋·=a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)=a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a=0.

二、填空题

9.(2018西安联考)已知向量a=(0，－1,1)，b=(4,1,0)，|λa＋b|=且λ>0，则λ=________.

答案为：3

解析：因为λa＋b=(4，－λ＋1，λ)，

所以|λa＋b|===，化简整理，得λ2－λ－6=0，解得λ=－2或λ=3，又λ>0，所以λ=3.

10.(2018浙江金华模拟)已知向量a=(x,4,1)，b=(－2，y，－1).若a∥b，则a与b的夹角为________.

答案为：π

解析：∵a∥b，∴==，∴x=2，y=－4.

∴a=(2,4,1)，b=(－2，－4，－1)，∴a=－b，

∴〈a，b〉=π.

11.(2018北京西城模拟)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是________.

答案为：[0,1]

解析：由题意可设=λ，其中λ∈[0,1]，·=·(＋)=·(＋λ)=2＋λ·=2＋λ·(－)=(1－λ)2=1－λ∈[0,1]，因此·的取值范围是[0,1].

12.(2018江西南昌模拟)在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则＋(＋)=________.

答案为：

解析：由题意知＋(＋)=＋×2=＋=.

三、解答题

13.(2018山东滨州行知中学期末)已知在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是BC的中点，M是PD的中点，F是PC上的点.

(1)求证：平面AEF⊥平面PAD；

(2)当F是PC的中点，且AB=AP时，求二面角F－AE－M的余弦值.

(1)【证明】连接AC.

∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC是正三角形.

∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.

又∵AD∥BC，∴AE⊥AD.

∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，

∴PA⊥AE.

又∵PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD.

又AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAD.

(2)【解】由(1)得，AE，AD，AP两两垂直，以点A为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨设AB=AP=2，则AE=，

则A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(，0,0)，

F，M(0,1,1)，

∴=(，0,0)，=，=(0,1,1).

设m=(x，y，z)是平面AEF的一个法向量，

则取z=1，得m=(0，－2,1).

同理，平面AME的一个法向量n=(0，－1,1).

则cos〈m，n〉==.

由图可知，二面角F－AE－M的平面角为锐角，

∴二面角F－AE－M的平面角的余弦值为.