2020届高考数学一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 47(含解析)

第47节　椭　圆

一、选择题

1.(2018江西景德镇模拟)椭圆＋=1的焦距为2，则m的值等于(　　)

A.5 B.3

C.5或3 D.8

答案为：C

解析：当m>4时，m－4=1，∴m=5；当0<m<4时，4－m=1，∴m=3.综上，m的值为5或3.

2.(2018江苏南通一模)“2<m<6”是“方程＋=1表示椭圆”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

答案为：B

解析：若＋=1表示椭圆，则有∴2<m<6且m≠4.故“2<m<6”是“＋=1表示椭圆”的必要不充分条件.

3.(2018山东临沂一模)设椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为(　　)

A. B.

C. D.

答案为：D

解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|=1，因为∠PF1F2=30°，所以|PF1|=2，|F1F2|=.故e===.故选D.

4.(2018江西师大附中模拟)椭圆ax2＋by2=1(a＞0，b＞0)与直线y=1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)

A. B.

C. D.

答案为：B

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax＋by=1，ax＋by=1，

即ax－ax=－(by－by)，=－1，=－1，

∴×(－1)×=－1.

∴=.故选B.

5.(2018海沧实验中学模拟)已知直线l：y=kx＋2过椭圆＋=1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2=4截得的弦长为L.若L≥，则椭圆离心率e的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案为：B

解析：由题意知b=2，kc=2. 设圆心到直线l的距离为d，则L=2≥，解得d2≤.

又因为d=，所以≤，

解得k2≥.

于是e2===，所以0＜e2≤，解得0＜e≤.故选B.

二、填空题

6.(2018江西临川一中月考)焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为______________________.

答案为：＋=1或＋=1

解析：由题意知解得

又b2=a2－c2，∴b2=9.∴b=3.

当焦点在x轴上时，椭圆的方程为＋=1；

当焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋=1.

7.(2018昆明质检)椭圆＋=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.

答案为：(－3,0)或(3,0)

解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|=2a=10.

则m=|PF1|·|PF2|≤2=25，当且仅当|PF1|=|PF2|=5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25，∴点P的坐标为(－3,0)或(3,0).

8.(2018乌鲁木齐调研)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋=1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·=c2，则此椭圆离心率的取值范围是__________.

答案为：

解析：设P(x，y)，则·=(－c－x，－y)·(c－x，－y)=x2－c2＋y2=c2，①

将y2=b2－x2代入①式，解得x2==，

又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2.

∴e=∈.

9.(2018江苏如皋一模)椭圆＋y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点.若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是__________.

答案为：

解析：设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，

则=(x＋，y)，=(x－，y).

∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，

即x2－3＋y2<0.①

∵y2=1－，代入①，得x2－3＋1－<0，即x2<2，∴x2<.

解得－<x<，∴x∈.

三、解答题

10.(2018湖南衡阳八中质检)设F1，F2分别是椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；

(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b的值.

【解】(1)根据c=及题设，

知M，2b2=3ac.

将b2=a2－c2代入2b2=3ac，解得=或=－2(舍去)，故C的离心率为.

(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故=4，即b2=4a.①

由|MN|=5|F1N|，得|DF1|=2|F1N|.

设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则

即

代入C的方程，得＋=1.②

将①及c=代入②，得＋=1.

解得a=7，b2=4a=28，故a=7，b=2　.

11.(2018兴义月考)已知点M(，)在椭圆C：＋=1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积.

【解】(1)由已知得解得

故椭圆C的方程为＋=1.

(2)设直线l的方程为y=x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0).

由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12=0，则x0==－m，y0=x0＋m=m，即D.

因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，

即PD的斜率k==－1，解得m=2.

此时x1＋x2=－3，x1x2=0，

则|AB|=|x1－x2|=·=3　，

又点P到直线l：x－y＋2=0的距离为d=，所以△PAB的面积为S=|AB|·d=×3　×=.