2020届高考数学一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 46(含解析)

第46节　直线与圆、圆与圆的位置关系

一、选择题

1.(2018湖北七市联考)将直线x＋y－1=0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转150°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2=4的位置关系是(　　)

A.相交 B.相切

C.相离 D.相交或相切

答案为：B

解析：依题意，得直线l的方程是y=tan 150°(x－1)=－(x－1)，即x＋y－1=0，圆心(－3,0)到直线l的距离d==2，因此该直线与圆相切.

2.(2018菏泽模拟)已知圆(x－1)2＋y2=1被直线x－y=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为(　　)

A.1∶2 B.1∶3

C.1∶4 D.1∶5

答案为：A

解析：(x－1)2＋y2=1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d==，所以较短弧所对的圆心角为，较长弧所对的圆心角为，故两弧长之比为1∶2.故选A.

3.(2018惠州调研)已知圆O：x2＋y2=4上到直线l：x＋y=a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为(　　)

A.(－3　，3　)

B.(－∞，－3　)∪(3　，＋∞)

C.(－2　，2　)

D.(－∞，－2　)∪(2　，＋∞)

答案为：A

解析：由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y=a的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d＜r＋1=3，即d=＜3，解得－3　＜a＜3　.故选A.

4.(2018广州模拟)已知直线y=x＋m和圆x2＋y2=1交于A，B两点，O为坐标原点.若·=，则实数m的值为(　　)

A.±1 B.±

C.± D.±

答案为：C

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(－x1，－y1)，=(x2－x1，y2－y1)，由得2x2＋2mx＋m2－1=0，故Δ=4m2－8(m2－1)=8－4m2＞0，－＜m＜.x1＋x2=－m，x1x2=，y1y2=(x1＋m)(x2＋m)=x1x2＋m(x1＋x2)＋m2，又·=－x1x2－y1y2＋x＋y=，故x1x2＋y1y2=－，故2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2=－，即m2－1－m2＋m2=－，得m2=，m=±.故选C.

5.(2018安徽芜湖质检)已知b2=a，则直线x－y＋3=0被圆x2＋y2－2ax－4by＋a2＋4b2－6=0截得的弦长的最大值为(　　)

A.1 B.

C.2 D.4

答案为：D

解析：由已知可得(x－a)2＋(y－2b)2=6，圆心为(a,2b)，半径为，圆心(a,2b)到直线x－y＋3=0的距离d=，弦长l=2×=2×≤4，当且仅当b=1时取等号，故弦长的最大值为4.故选D.

6.(2018广东江门一模)已知点M(－2,0)，N(2,0)，若圆x2＋y2－6x＋9－r2=0(r＞0)上存在点P(不同于点M，N)，使得PM⊥PN，则实数r的取值范围是(　　)

A.(1,5) B.[1,5]

C.(1,3] D.[1,3]

答案为：A

解析：将圆的方程化为标准方程得(x－3)2＋y2=r2(r＞0)，当r=1时，(x－3)2＋y2=1经过点N(2,0)，圆(x－3)2＋y2=r2(r＞0)上不存在点P，使得PM⊥PN；当r=5时，(x－3)2＋y2=25经过点M(－2,0)，同理圆(x－3)2＋y2=r2(r＞0)上不存在点P，使得PM⊥PN.故选A.

7.(2018湖北八校联考)已知直线ax＋by－6=0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y=0截得的弦长为2　，则ab的最大值为(　　)

A. B.4

C. D.9

答案为：C

解析：x2＋y2－2x－4y=0化成标准方程为(x－1)2＋(y－2)2=()2，因为直线ax＋by－6=0(a＞0，b＞0)被圆x2＋y2－2x－4y=0截得的弦长为2，故直线ax＋by－6=0(a＞0，b＞0)经过圆心(1,2)，即a＋2b=6.又6=a＋2b≥2，即ab≤，当且仅当a=2b=3时取等号，故ab的最大值为.故选C.

8.(2018河南六市一模)若圆x2＋(y－1)2=r2与曲线(x－1)y=1没有公共点，则半径r的取值范围是(　　)

A.(0，) B.

C.(0，) D.

答案为：C

解析：取曲线上的点，其中a≠1，

则圆心(0,1)与点的距离d=

=

=

=≥，所以若圆与曲线无公共点，则0＜r＜.故选C.

二、填空题

9.(2019银川一中检测)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2=25交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是____________.

答案为：x＋y－3=0

解析：可求得点M(1,2)在圆内，当∠ACB最小时，直线l与CM垂直，又圆心为(3,4)，则kCM==1，则kl=－1，故直线l的方程为y－2=－(x－1)，整理得x＋y－3=0.

10.(2018福州质检)若直线x－y＋2=0与圆C：(x－3)2＋(y－3)2=4相交于A、B两点，则·的值为__________.

答案为：0

解析：由题意得点C的坐标为(3,3).由解得或可令A(3,5)，B(1,3)，∴=(0,2)，=(－2,0).∴·=0.

11.(2018洛阳模拟)已知过点(2,4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－5=0截得的弦长为6，则直线l的方程为__________.

答案为：x－2=0或3x－4y＋10=0

解析：圆C：x2＋y2－2x－4y－5=0的圆心坐标为(1,2)，半径为.因为过点(2,4)的直线l被圆C截得的弦长为6，所以圆心到直线l的距离为1.①当直线l的斜率不存在时，直线方程为x－2=0，满足圆心到直线的距离为1；②当直线l的斜率存在时，设其方程为y－4=k(x－2)，即kx－y－2k＋4=0，所以=1，解得k=，所求直线l的方程为3x－4y＋10=0.故直线l的方程为x－2=0或3x－4y＋10=0.

12.(2018湖南长沙一模)过点P(3,2)作圆O：x2＋y2=4的切线，则切线的方程为________.

答案为：12x－5y－26=0或y－2=0

解析：因为|OP|==，所以点P(3,2)在圆外.显然，斜率不存在时，直线与圆相离，故可设切线的方程为y－2=k(x－3)，即kx－y＋2－3k=0.又圆心为O(0,0)，半径r=2，故圆心到切线的距离d==2，即|3k－2|=2，所以k=或k=0.故所求切线的方程为12x－5y－26=0或y－2=0.

三、解答题

13.(2018洛阳统考)已知圆S经过点A(7,8)和点B(8,7)，圆心S在直线2x－y－4=0上.

(1)求圆S的方程；

(2)若直线x＋y－m=0与圆S相交于C，D两点，且∠COD为钝角(O为坐标原点)，求实数m的取值范围.

【解】(1)线段AB的中垂线方程为y=x，

由得

所以圆S的圆心为S(4,4)，半径为|SA|=5.

故圆S的方程为(x－4)2＋(y－4)2=25.

(2)由x＋y－m=0变形得y=－x＋m，代入圆S的方程，消去y并整理，得2x2－2mx＋m2－8m＋7=0.

令Δ=(－2m)2－8(m2－8m＋7)＞0，得8－5＜m＜8＋5.设C，D的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2=m，x1x2=.

依题意得·＜0，即x1x2＋(－x1＋m)·(－x2＋m)＜0，即m2－8m＋7＜0，解得1＜m＜7.

故实数m的取值范围是{m|8－5＜m＜8＋5}∩{m|1＜m＜7}={m|1＜m＜7}.