2020届高考数学一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 48(含解析)

第48节　双 曲 线

一、选择题

1.(2018合肥质检)若双曲线C1：－=1与C2：－=1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b=(　　)

A.2 B.4

C.6 D.8

答案为：B

解析：由题意得=2⇒b=2a，C2的焦距2c=4⇒c==2　⇒b=4.故选B.

2.(2018广州联考)已知双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2,1)在C的一条渐近线上，则C的方程为(　　)

A.－=1 B.－=1

C.－=1 D.－=1

答案为：A

解析：由题意知解得∴双曲线C的方程为－=1.

3.(2018浙江桐乡一中模拟)已知双曲线－=1(b＞0)的离心率等于b，则该双曲线的焦距为(　　)

A.2 B.2

C.6  D.8

答案为：D

解析：设双曲线的焦距为2c.由已知得=b，又c2=4＋b2，解得c=4，则该双曲线的焦距为8.

4.(2018山西平遥中学月考)已知双曲线9y2－m2x2=1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m=(　　)

A.1  B.2

C.3  D.4

答案为：D

解析：由题意知双曲线的一个顶点为，一条渐近线的方程为mx－3y=0，则顶点到渐近线的距离为=， 解得m=4.

5.(2018湖南六校联考)已知双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)

A.－=1 B.－=1

C.－=1 D.－=1

答案为：C

解析：由已知可得交点(3,4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r==5，故c=5，a2＋b2=25，又双曲线的一条渐近线y=x过点(3,4)，故3b=4a，可解得b=4，a=3.故选C.

6.(2018南昌调研)已知F1，F2是双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点.若|PF1|＋|PF2|=6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)

A.x±y=0 B.x±y=0

C.x±2y=0 D.2x±y=0

答案为：A

解析：由题意，不妨设|PF1|＞|PF2|，

则根据双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|=2a，

又|PF1|＋|PF2|=6a，联立解得|PF1|=4a，|PF2|=2a.

在△PF1F2中，|F1F2|=2c，而c＞a，

所以|PF2|＜|F1F2|.

所以∠PF1F2=30°.所以(2a)2=(2c)2＋(4a)2－2×2c×4acos 30°，

得c=a.所以b==a.

所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，即x±y=0.

7.(2018江苏无锡模拟)已知A，B分别为双曲线C：－=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点.若双曲线C的离心率为2，PA，PB，PO的斜率分别为k1，k2，k3，则k1k2k3的取值范围为(　　)

A. B.(0，)

C.(0,3) D.(0,8)

答案为：C

解析：因为e==2，所以b=a.设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，则－=1，k1·k2=·===3.又双曲线的渐近线方程为y=±x，所以0＜k3＜.所以0＜k1k2k3＜3　.故选C.

8.(2018沈阳质量监测)已知P是双曲线－y2=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为点A，B，则·的值是(　　)

A.－ B.

C.－ D.不能确定

答案为：A

解析：设P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线方程分别是－y=0，＋y=0，所以可取|PA|=，|PB|=.

又cos∠APB=－cos∠AOB=－cos 2∠AOx=－cos=－，所以·=||·||·cos∠APB=·=×=－.故选A.

二、填空题

9.(2018武汉武昌区调研)双曲线Γ：－=1(a＞0，b＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于__________.

答案为：8

解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y=x，即ax－by=0的距离为==b=3，所以a=4,2a=8.

10.(2018山东烟台模拟)若双曲线－=1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为__________.

答案为：

解析：双曲线的一条渐近线方程为bx－ay=0，一个焦点坐标为(c,0).由题意得=×2c.所以c=2b，a==b，所以e===.

三、解答题

11.(2018河南安阳一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=－x之间的阴影部分为W.区域W中动点P(x，y)到l1，l2的距离之积为1.

(1)求点P的轨迹C的方程.

(2)动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点.若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值.

(1)【解】由题意得·=1，

所以|(x＋y)(x－y)|=2.

因为点P在区域W内，所以x＋y与x－y同号，

所以(x＋y)(x－y)=x2－y2=2，

所以点P的轨迹C的方程为－=1.

(2)【证明】设直线l与x轴相交于点D.

当直线l的斜率不存在时，|OD|=，|AB|=2，

S△OAB=|AB|·|OD|=2.当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx＋m，显然k≠0，m≠0，则D.

把直线l的方程与C：x2－y2=2联立得

(k2－1)x2＋2kmx＋m2＋2=0.

由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知Δ=4k2m2－4(k2－1)·(m2＋2)=0，得m2=2(k2－1)＞0，

所以k＞1或k＜－1.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

得y1=，同理得y2=.

所以S△OAB=|OD||y1－y2|===2.综上， △OAB的面积恒为定值2.