2020届高考数学一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 49(含解析)

第49节　抛 物 线

一、选择题

1.(2018沈阳质量监测)抛物线y=4ax2(a≠0)的焦点坐标是(　　)

A.(0，a) B.(a,0)

C. D.

答案为：C

解析：将y=4ax2(a≠0)化为标准方程得x2=y(a≠0)，所以焦点坐标为.故选C.

2.(2018辽宁五校联考)已知AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是(　　)

A.2 B.

C. D.

答案为：C

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1＋x2＋p=4.又p=1，所以x1＋x2=3.所以点C的横坐标是=.

3.(2018邯郸质检)设F为抛物线y2=2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点.若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　)

A.1  B.2

C.3  D.4

答案为：C

解析：由题意可设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，x1＋x2＋x3=3×=，则||＋||＋||=(x1＋)＋(x2＋)＋=(x1＋x2＋x3)＋=＋=3.故选C.

4.(2018河北三市联考)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为(　　)

A. B.

C. D.2

答案为：A

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x=－2的垂线，垂足分别为点D，E.∵|PA|=|AB|，∴又解得x1=，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋=.

5.(2018广东汕头联考)已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(　　)

A.2－1 B.2－2

C.－1 D.－2

答案为：C　

解析：由题意得圆x2＋(y－4)2=1的圆心A(0,4)，半径r=1，抛物线的焦点F(1,0).由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r=－1=－1.故选C.

二、填空题

6.(2018沈阳质量监测)已知抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°(O为坐标原点)时，|PF|=________.

答案为：

解析：设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB=30°，|BF|=2，所以|AB|=，设P(x0，y0)，则x0=±，代入x2=4y中，得y0=，从而|PF|=|PA|=y0＋1=.

7.(2018云南检测)已知抛物线C的方程为y2=2px(p＞0)，圆M的方程为x2＋y2＋8x＋12=0，如果抛物线C的准线与圆M相切，那么p的值为__________.

答案为：12或4

解析：将圆M的方程化为标准方程为(x＋4)2＋y2=4，圆心的坐标为(－4,0)，半径r=2.又抛物线的准线方程为x=－，∴|4－|=2，解得p=12或4.

8.(2018兰州、张掖联考)如图，过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C.若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是__________.

答案为：y2=3x

解析：分别过点A，B作准线的垂线AE，BD，分别交准线于点E，D(图略)，则|BF|=|BD|，∵|BC|=2|BF|，∴|BC|=2|BD|，∴∠BCD=30°.又|AE|=|AF|=3，

∴|AC|=6，即点F是AC的中点.根据题意，得p=，∴抛物线的方程是y2=3x.

三、解答题

9.(2018辽宁葫芦岛模拟)已知抛物线y2=4px(p＞0)的焦点为F，圆W：(x＋p)2＋y2=p2的圆心到过点F的直线l的距离为p.

(1)求直线l的斜率；

(2)若直线l与抛物线交于A，B两点，△WAB的面积为8，求抛物线的方程.

【解】(1)易知抛物线y2=4px(p＞0)的焦点为F(p,0)，由题意知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x=my＋p，因为W(－p,0)，所以点W到直线l的距离为=p，解得m=±，所以直线l的斜率为±.

(2)由(1)知直线l的方程为x=±y＋p，由于两条直线关于x轴对称，不妨取x=y＋p，联立消去x得y2－4py－4p2=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2=4p，y1y2=－4p2，所以|AB|=·=16p.

因为△WAB的面积为8，所以p×16p=8，解得p=1.

所以抛物线的方程为y2=4x.

10.(2018合肥质检)已知抛物线C1：x2=2py(p＞0)，O是坐标原点，点A，B为抛物线C1上异于O点的两点，以OA为直径的圆C2过点B.

(1)若A(－2,1)，求p的值以及圆C2的方程；

(2)求圆C2的面积S的最小值(用p表示).

【解】(1)∵A(－2,1)在抛物线C1上，

∴4=2p，p=2.又圆C2的圆心为，半径为=，∴圆C2的方程为(x＋1)2＋2=.

(2)记A(x1，)，B(x2，)，则=(x2，)，=(x2－x1，).

由·=0，知x2(x2－x1)＋=0.

∵x2≠0，且x1≠x2，∴x＋x1·x2=－4p2.∴x1=－.

∴x=x＋＋8p2≥2＋8p2=16p2，当且仅当x=，即x=4p2时取等号.

又|OA|2=x＋=(x＋4p2·x)，且x≥16p2，

∴|OA|2≥(162·p4＋4p2·16p2)=80p2.

而S=π·，∴S≥20πp2，即S的最小值为20πp2，当且仅当x=4p2时取得.