2020届高考数学一轮复习课时训练:第9章 平面解析几何 50(含解析)
展开第50节 曲线与方程
一、选择题
1.(2018南昌模拟)方程(x2+y2-2x)=0表示的曲线是( )
A.一个圆和一条直线 B.一个圆和一条射线
C.一个圆 D.一条直线
答案为:D
解析:题中的方程等价于①x+y-3=0或②
注意到圆x2+y2-2x=0上的点均位于直线x+y-3=0的左下方区域,即圆x2+y2-2x=0上的点均不满足x+y-3≥0,故②不表示任何图形,因此题中的方程表示的曲线是直线x+y-3=0.
2.(2018呼和浩特调研)已知椭圆+=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F1为椭圆的左焦点,则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
答案为:B
解析:设椭圆的右焦点是F2,由椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=2a>2c,所以|PF1|+|PO|=(|MF1|+|MF2|)=a>c,所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆.
3.(2018银川模拟)设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则点P的轨迹方程为( )
A.y2=2x B.(x-1)2+y2=4
C.y2=-2x D.(x-1)2+y2=2
答案为:D
解析:如图,设P(x,y),圆心为M(1,0),连接MA,则MA⊥PA,且|MA|=1.
又∵|PA|=1,∴|PM|==,即|PM|2=2.∴(x-1)2+y2=2.
4.(2018津南模拟)平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3).若点C满足=λ1+λ2(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是( )
A.直线 B.椭圆
C.圆 D.双曲线
答案为:A
解析:设C(x,y),因为=λ1+λ2,
所以(x,y)=λ1(3,1)+λ2(-1,3),
即解得
又λ1+λ2=1,所以+=1,即x+2y=5.
所以点C的轨迹为直线.故选A.
5.(2018河北沧州模拟)有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A,B.若△ABP为正三角形,则点P的轨迹为( )
A.直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
答案为:D
解析:设P(x,y),动圆P的半径为R,
∵△ABP为正三角形,
∴P到y轴的距离d=R,即|x|=R.
而R=|PF|=,
∴|x|=·,
整理得(x+3a)2-3y2=12a2,即-=1,
∴点P的轨迹为双曲线.故选D.
6.(2018深圳调研)已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为点Q,且·=·,则动点P的轨迹C的方程为( )
A.x2=4y B.y2=3x
C.x2=2y D.y2=4x
答案为:A
解析:设点P(x,y),则Q(x,-1).
∵·=·,∴(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),
即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,
∴动点P的轨迹C的方程为x2=4y.
7.(2018江苏淮安模拟)已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则动点P的轨迹是( )
A.直线 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
答案为:B
解析:设P(x,y),则=2,
整理得x2+y2-4x=0,
又D2+E2-4F=16>0,所以动点P的轨迹是圆.
二、填空题
8.(2018厦门模拟)已知动点P(x,y)与两定点M(-1,0),N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0),则动点P的轨迹C的方程为__________.
答案为:x2-=1(λ≠0,x≠±1)
解析:由题意知直线PM与PN的斜率存在且均不为零,所以kPM·kPN=·=λ,
整理得x2-=1(λ≠0,x≠±1),
即动点P的轨迹C的方程为x2-=1(λ≠0,x≠±1).
9. (2018四川达州一诊)已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程是__________.
答案为:+=1(y≠0)
解析:设抛物线焦点为F,过A,B,O作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+|BB1|=2|OO1|=4.由抛物线定义,得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,∴|FA|+|FB|=4.故点F的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点),所以抛物线的焦点的轨迹方程为+=1(y≠0).
10.(2018河南洛阳统考)在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B,C(a>0),且满足条件sin C-sin B=sin A,则动点A的轨迹方程是________.
答案为:-=1(x>0且y≠0)
解析:由正弦定理得-=×,
即|AB|-|AC|=|BC|,
故动点A是以B,C为焦点,为实轴长的双曲线的右支,
即动点A的轨迹方程为-=1(x>0且y≠0).
三、解答题
11.(2018山西孝义九校联考)在△ABC中,||=4,△ABC的内切圆切BC于点D且||-||=2 ,求顶点A的轨迹方程.
【解】以BC的中点为原点,中垂线为y轴建立如图所示的坐标系,E,F分别为两个切点,则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,|AE|=|AF|.
∵|AB|-|AC|=2<|BC|=4,
∴点A的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的右支(y≠0),且a=,c=2.∴b=.
∴顶点A的轨迹方程为-=1(x>).
12.(2018唐山统考)已知动点P到直线l:x=-1的距离等于它到圆C:x2+y2-4x+1=0的切线长(P到切点的距离),记动点P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)点Q是直线l上的动点,过圆心C作QC的垂线交曲线E于A,B两点,设AB的中点为D,求的取值范围.
【解】(1)由已知得圆心为C(2,0),半径r=.
设P(x,y),依题意可得|x+1|=,整理得y2=6x.
故曲线E的方程为y2=6x.
(2)设直线AB的方程为my=x-2,
则直线CQ的方程为y=-m(x-2),可得Q(-1,3m).
将my=x-2代入y2=6x并整理可得y2-6my-12=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=6m,y1y2=-12,D(3m2+2,3m),|QD|=3m2+3,|AB|=2,
所以2=
=∈,
故∈.