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    2020届高考数学一轮复习课时训练:第9章 平面解析几何 50(含解析)
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    2020届高考数学一轮复习课时训练:第9章 平面解析几何 50(含解析)

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    50节 曲线与方程

    选择题

    1.(2018南昌模拟)方程(x2y22x)=0表示的曲线是(  )

    A.一个圆和一条直线 B.一个圆和一条射线

    C.一个圆  D.一条直线

    答案为:D

    解析:题中的方程等价于xy3=0

    注意到圆x2y22x=0上的点均位于直线xy3=0的左下方区域即圆x2y22x=0上的点均不满足xy30不表示任何图形因此题中的方程表示的曲线是直线xy3=0.

    2.(2018呼和浩特调研)已知椭圆=1(ab0)M为椭圆上一动点F1为椭圆的左焦点则线段MF1的中点P的轨迹是(  )

    A. B.椭圆

    C.双曲线  D.抛物线

    答案为:B

    解析:设椭圆的右焦点是F2由椭圆定义可得|MF1||MF2|=2a2c所以|PF1||PO|=(|MF1||MF2|)=ac所以点P的轨迹是以F1O为焦点的椭圆.

    3.(2018银川模拟)设点A为圆(x1)2y2=1上的动点PA是圆的切线|PA|=1则点P的轨迹方程为(  )

    A.y2=2x B.(x1)2y2=4

    C.y2=2x D.(x1)2y2=2

    答案为:D

    解析:如图P(xy)圆心为M(1,0)连接MAMAPA|MA|=1.

    |PA|=1|PM|==|PM|2=2.(x1)2y2=2.

    4.(2018津南模拟)平面直角坐标系中已知两点A(3,1)B(1,3).若点C满足=λ1λ2(O为原点)其中λ1λ2Rλ1λ2=1则点C的轨迹是(  )

    A.直线  B.椭圆

    C. D.双曲线

    答案为:A

    解析:C(xy)因为=λ1λ2

    所以(xy)=λ1(3,1)λ2(1,3)

    解得

    λ1λ2=1所以=1x2y=5.

    所以点C的轨迹为直线.故选A.

    5.(2018河北沧州模拟)有一动圆P恒过定点F(a,0)(a0)且与y轴相交于点AB.ABP为正三角形则点P的轨迹为(  )

    A.直线  B.

    C.椭圆  D.双曲线

    答案为:D

    解析:P(xy)动圆P的半径为R

    ∵△ABP为正三角形

    Py轴的距离d=R|x|=R.

    R=|PF|=

    |x|=·

    整理得(x3a)23y2=12a2=1

    P的轨迹为双曲线.故选D.

    6.(2018深圳调研)已知点F(0,1)直线ly=1P为平面上的动点过点P作直线l的垂线垂足为点Q·=·则动点P的轨迹C的方程为(  )

    A.x2=4y B.y2=3x

    C.x2=2y D.y2=4x

    答案为:A

    解析:设点P(xy)Q(x1).

    ·=·(0y1)·(x,2)=(xy1)·(x2)

    2(y1)=x22(y1)整理得x2=4y

    动点P的轨迹C的方程为x2=4y.

    7.(2018江苏淮安模拟)已知两定点A(2,0)B(1,0)如果动点P满足|PA|=2|PB|则动点P的轨迹是(  )

    A.直线  B.

    C.椭圆  D.双曲线

    答案为:B

    解析:P(xy)=2

    整理得x2y24x=0

    D2E24F=160所以动点P的轨迹是圆.

    填空题

    8.(2018厦门模拟)已知动点P(xy)与两定点M(1,0)N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ0)则动点P的轨迹C的方程为__________.

    答案为:x2=1(λ0x±1)

    解析:由题意知直线PMPN的斜率存在且均不为零所以kPM·kPN=·=λ

    整理得x2=1(λ0x±1)

    即动点P的轨迹C的方程为x2=1(λ0x±1).

    9. (2018四川达州一诊)已知圆的方程为x2y2=4若抛物线过点A(1,0)B(1,0)且以圆的切线为准线则抛物线的焦点的轨迹方程是__________.

    答案为:=1(y0)

    解析:设抛物线焦点为FABO作准线的垂线AA1BB1OO1|AA1||BB1|=2|OO1|=4.由抛物线定义|AA1||BB1|=|FA||FB||FA||FB|=4.故点F的轨迹是以AB为焦点长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)所以抛物线的焦点的轨迹方程为=1(y0).

    10.(2018河南洛阳统考)ABCA为动点BC为定点BC(a0)且满足条件sin Csin B=sin A则动点A的轨迹方程是________.

    答案为:=1(x0y0)

    解析:由正弦定理得=×

    |AB||AC|=|BC|

    故动点A是以BC为焦点为实轴长的双曲线的右支

    即动点A的轨迹方程为=1(x0y0).

    解答题

    11.(2018山西孝义九校联考)ABC||=4ABC的内切圆切BC于点D||||=2 求顶点A的轨迹方程.

    【解】BC的中点为原点中垂线为y轴建立如图所示的坐标系EF分别为两个切点|BE|=|BD||CD|=|CF||AE|=|AF|.

    |AB||AC|=2|BC|=4

    A的轨迹是以BC为焦点的双曲线的右支(y0)a=c=2.b=.

    顶点A的轨迹方程为=1(x).

    12.(2018唐山统考)已知动点P到直线lx=1的距离等于它到圆Cx2y24x1=0的切线长(P到切点的距离)记动点P的轨迹为曲线E.

    (1)求曲线E的方程;

    (2)Q是直线l上的动点过圆心CQC的垂线交曲线EAB两点AB的中点为D的取值范围.

    【解】(1)由已知得圆心为C(2,0)半径r=.

    P(xy)依题意可得|x1|=整理得y2=6x.

    故曲线E的方程为y2=6x.

    (2)设直线AB的方程为my=x2

    则直线CQ的方程为y=m(x2)可得Q(1,3m).

    my=x2代入y2=6x并整理可得y26my12=0

    A(x1y1)B(x2y2)

    y1y2=6my1y2=12D(3m22,3m)|QD|=3m23|AB|=2

    所以2=

    =

    .

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